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1、第9章非正弦周期电流电路9.1非正弦周期电流电路的基本概念9.2非正弦周期信号的谐波分析9.3有效值、平均值和平均功率9.4非正弦周期电路的计算小结学习目标正确理解非正弦周期电流电路的基本概念和谐波分析法深刻理解将周期函数f(t)分解为直流分量、基波分量和一系列不同频率的各次谐波分量之和。深刻理解和掌握谐波分析的意义:傅里叶级数是一个收敛级数,当K取到无限多项时就可以准确地表示原非正弦周期函数,但在实际工程计算时只能取有限的几项,取多少项依据工程所需的精度而定。正确非正弦周期电流有效值、平均值和平均功率,并会进行计算。9.1非正弦周期电流电路的基
2、本概念9.1.1非正弦周期电流、电压的概念前面几章研究了正弦电流电路的分析计算方法,但在工程实际中大量存在的还有非正弦周期电压和电流,如图9.1所示的周期性变化的方波、三角波等。非正弦周期电压和电流都是随时间作周期性变化的非正弦函数,和正弦函数相比,都有变化的周期T和频率f,不同的仅是波形而已。图9.1几种常见的非正弦波(a)尖脉冲电流;(b)矩形波电压;(c)锯齿波电压周期函数的一般定义是:设有一时间函数f(t),若满足则称为周期函数。其中T为常数,称为的重复周期,简称周期。称为周期函数的频率。9.1.2产生非正弦周期电压、电流的原因在什么情况
3、下,电路中会出现非正弦周期电压和电流呢?在线性电路中有一个正弦电源作用或多个同频电源共同作用时,电路各部份的稳态电压、电流都是同频的正弦量。在线性电路中,有几个不同频率的正弦激励时,稳态响应一般是非正弦的。更普遍的情形,也是本章重点研究的情形则是线性电路中,当激励是非正弦周期函数时,各部分的稳态响应也将是非正弦周期电压和电流。例如在电力工程中,发电机产生的电压尽管力求按正弦规律变化,但由于制造方面的原因,其电压波形是周期的,但与正弦波形或多或少会有差别。在自动控制、电子计算机等技术领域中大量应用的脉冲信号也都是非正弦周期信号,如图9.1(a)周期脉
4、冲电流、9.1(b)的方波电压,图9.1(c)实验室常用的电子示波器扫描电压的锯齿波。在通信工程方面传输的信号,如收音机、电视机收到的信号电压和电流,它们的波形也都是非正弦的周期信号。9.1.3谐波分析法怎样分析在非正弦周期电压和电流的激励下,线性电路的稳态响应呢?首先应用数学中的傅里叶级数展开方法,将非正弦周期电压和电流激励分解为一系列不同频率的正弦量之和。其次,再根据线性电路的叠加定理,分别计算在各个正弦量单独作用下在线性电路中产生的同频正弦电流分量和电压分量。最后,把所得的分量按瞬时值叠加,就可以得到电路中实际的稳定电流和电压。上述方法就称为
5、非正弦周期电流的谐波分析法,它的本质就是把非正弦周期电流电路的计算转化为一系列正弦电流电路的计算,这样就能充分利用正弦电流电路的相量法这个有效的工具。9.2非正弦周期信号的谐波分析9.2.1非正弦周期信号的谐波分析方法在介绍非正弦周期信号的谐波分析分解之前,我们先讨论几个不同频率的正弦波的合成。设有一个正弦电压u1=U1msinωt,其波形如图9.2(a)所示。显然这一波形与同频率矩形波相差甚远。如果在这个波形上面加上第二个正弦电压波形,其频率是u1的3倍,而振幅为u1的1/3,则表示式为其波形如图9.2(b)所示。如果再加上第三个正弦电压波形,
6、其频率为u1的5倍,振幅为u1的1/5,其表示式为其波形如图9.2(c)所示。照这样继续下去,如果叠加的正弦项是无穷多个,那么它们的合成波形就会与图9.2(d)的矩形波一样。图9.2矩形波的合成由此可以看出,几个不同频率的正弦波可以合成一个非正弦的周期波。反之,一个非正弦的周期波可以分解成许多不同频率的正弦波之和。由数学知识可知,如果一个函数是周期性的,且满足狄里赫利条件,那么它可以展开成一个收敛级数,即付里叶级数。电工技术中所遇到的周期函数一般都能满足这个条件。设给定的周期函数f(t)的周期为T,角频率ω=2π/T,则f(t)的付里叶级数展开式
7、为(9—1)利用三角函数公式,还可以把式(9—1)写成另一种形式:(9—2)式中,a0,ak,bk称为付里叶系数,可由下列积分求得:(9—3)尽管上式的推导在数学中已作介绍,这里不再赘述;但是推导过程中应用的三角函数的正交性,即三角函数积分的如下性质,对理解上述系数公式,以及理解下节有效值和平均功率的概念都很有帮助,所以仍将三角函数正交性公式分列如下:正弦、余弦函数在一个周期上的定积分为0,即正弦、余弦函数的乘积,不同频的正弦与正弦、余弦与余弦函数的乘积在一个周期上的定积分为0,即(m≠n)(m≠n)式(9—1)和式(9—2)各系数之间存在如下关系
8、:(9—4)同频的正弦与正弦、余弦与余弦函数的乘积在一个周期上的积分等于π,即例9.1已知矩形周期电压的波形如图9.3所示