研修作业一题多解一题多变

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1、一题多变一题多解——谈谈圆锥曲线中的变式题问题1：设椭圆过点，且左焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点，满足.证明：点总在定直线上.解答：第（1）题易得椭圆方程为（过程略）；主要第（2）题证明如下：ABPQ如图，设，由三角形的相似得：化简得：现设直线（k必存在）代入椭圆方程，得：由韦达定理，得：代入式，化简得：，代入直线方程，得：两式联立，消去，得：，即点在定直线上，得证.变1：设椭圆，当过点（其中）的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点，满足证明：点在定直线上.变2：设双曲线，过点（其中）的动直线与双曲线相交于两

2、不同点，在线段上取点，满足证明：点在定直线上.证明：这两个命题可以一起证。统一设椭圆和双曲线的方程为（，且不同时小于）（注：实际上还可包括圆）；设直线（注：当k不存在的情况需另行证明，这里略），两式联立，消去，得：设，得现设，由条件知，点在线段外，不失一般性，在图象中，从左到右这四个字母的顺序是，故由三角形的相似得：，即现韦达定理代入式，化简得：，化简得：点在直线上，得证.变3：设抛物线，当过点（其中）的动直线与抛物线相交于两不同点，在线段上取点，满足证明：点在定直线上.证明：设直线，代入抛物线方程，得：设，得现设，由条件知，点在线段外，不失一般性，在图象中，从左到右

3、这四个字母的顺序是，故由三角形的相似得：，即：现韦达定理代入式，化简得：，化简得：点在直线上，得证.问题2：（同问题1）变1：已知定点和椭圆，直线分别与椭圆相切于点，直线PAB与椭圆相交于A，B两点，Q在线段AB上，若满足，则点Q在定直线MN上.证明：由问题2的变1的结论，只需证：切点M，N在定直线上.先在椭圆方程里对求导，得：设切点M（N）的坐标是，代入式，得化简，得切点M，N在定直线上.得证.变2：已知定点和抛物线，直线分别与抛物线相切于点，直线PAB与抛物线相交于A，B两点，Q在线段AB上，若满足，则点Q在定直线MN上.证明：由问题2的变3的结论，只需证：切点M

4、，N在定直线上.先在抛物线方程里对求导，得：设切点M（N）的坐标是，代入式，得化简，得切点M，N在定直线上.问题3：椭圆左右焦点是，抛物线的焦点也是，点M是两曲线在第一象限的交点，且，求椭圆方程.解答：由共焦点知：椭圆中的；又抛物线的准线必过椭圆的左焦点，所以所以变1：设抛物线和椭圆的公共焦点为，是椭圆的左焦点，是两曲线的交点，椭圆的离心率是的面积是，则：证明：（1）由共焦点知，，联立，得：（2）（3）设，则又由余弦定理，（4）变2：设抛物线和双曲线的公共焦点为，是双曲线的左焦点，是两曲线的交点，双曲线的离心率是的面积是，则：证明：（1）由共焦点知，，联立，得：（2）

5、（3）设，则又由余弦定理，（4）变3：设椭圆和双曲线的公共焦点为，是两曲线的一个交点，的面积为，证明：证明：（1）由共焦点知：联立方程组：两式相加，得：所以：，所以：同理可证：(2)由(1),得：(3)设,由(2)：又由余弦定理，(4)由椭圆和双曲线的第一定义，分别得：所以：问题4：设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，定点，求证：三点共线.证明：设，（这里m是定值，n是变量）切点对双曲线两边求导，得：点代入，得：，化简，得：同理，点代入，得：即所在直线为：令，则即也在直线上，所以三点共线.变1：已知双曲线及定点，过直线上任一点P作双曲线的两条切线，切点为

6、，求证：三点共线.变2：已知及定点，过直线上任一点P作椭圆的两条切线，切点为，求证：三点共线.证明：这两个命题可以一起证。统一设椭圆和双曲线的方程为（，且不同时小于）（注：实际上还可包括圆）两边求导，得：设，（这里m是定值，n是变量）代入，得：，即：所以同理，代入，得所以所在直线方程为令，得，即点在直线上.变3：已知抛物线及定点，过直线上任一点P作抛物线的两条切线，切点为，求证：三点共线.证明：对两边求导，设，（这里m是定值，n是变量）代入，得：，即：所以：同理，代入，得所以所在直线方程为，令，得即点在直线上.问题5：过定点（0

7、别作双曲线的两条切线，交于点，求证：点在直线上.证明：设，切点对双曲线两边求导，得：点代入，得：，化简，得：同理，点代入，得：即所在直线为：因为定点在直线上，得到：所以点坐标为，即点在直线上变1：已知双曲线及定点，过点M的直线交双曲线于A，B两点，过A，B作双曲线的两条切线，交于点P，证明：P在直线上.变2：已知椭圆及定点，过点M的直线交椭圆于A，B两点，过A，B作椭圆的两条切线，交于点P，证明：P在直线上.证明：这两个命题可以一起证。统一设椭圆和双曲线的方程为（，且不同时小于）（注：实际上还可包括圆）则定点为对两边求导，得：设，代入，得：，即：所以