现代控制理论第一章

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1、1.1状态变量及状态空间表达式1.3状态变量及状态空间表达式的建立(一)1.2状态变量及状态空间表达式的模拟结构图1.5状态矢量的线性变换(坐标变换)1.4状态变量及状态空间表达式的建立(二)1.6从状态空间表达式求传递函数阵1.1状态变量及状态空间表达式1.1.1状态及状态变量定义：动态系统的状态,是指能够完全描述系统时间域动态行为的一个最小变量组。该变量组的每个变量称为状态变量。该最小变量组中状态变量的个数称为系统的阶数。“状态”定义的三要素完全描述。即给定描述状态的变量组在初始时刻(t=t0)的值和初始时刻后(tt0)的

2、输入,则系统在任何瞬时(tt0)的行为,即系统的状态,就可完全且唯一的确定。动态时域行为。最小变量组。即描述系统状态的变量组的各分量是相互独立减少变量,描述不全。增加则一定存在线性相关的变量,冗余的变量,毫无必要。1.1状态变量及状态空间表达式1.1.2状态矢量若要完全描述n阶系统,则其最小变量组必须由n个变量(即状态变量)所组成,一般记这n个状态变量为x1(t),x2(t),…,xn(t).若以这n个状态变量为分量,构成一个n维变量向量,则称这个向量为状态变量向量,简称为状态向量,并可表示如下:多输入多输出系统示意图状态变量

3、是描述系统内部动态特性行为的变量。它可以是能直接测量或观测的量,也可以是不能直接测量或观测的量；可以是物理的,甚至可以是非物理的,没有实际物理量与之直接相对应的抽象的数学变量。1.1.3状态空间若以n个状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴,就可构成一个n维欧氏空间,并称为n维状态空间,记为Rn.状态向量的端点在状态空间中的位置,代表系统在某一时刻的运动状态。随着时间的推移,状态不断地变化,tt0各瞬时的状态在状态空间构成一条轨迹,它称为状态轨迹。状态轨迹如右图所示。二维空间的状态轨迹根据电学原理，容易写出两个

4、含有状态变量的一阶微分方程组：亦即（1）1.1.4状态方程由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程。用下图所示的R-L-C网络，说明如何用状态变量描述这一系统。图一或式中(2)式(1)就是图一系统的状态方程，式中若将状态变量用一般符号表示，即令x1=uC,x2=i，并写成矢量矩阵形式，则状态方程变为：式（3）就是图一系统的输出方程，它的矩阵表示式为：或（3）式中或（4）1.1.5输出方程在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。如在图一系统中，指定uC作为输出，输出一般用y表示，则

5、有：状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶微分方程来描述系统的动态过程。如上图一所示的系统，在以uC作输出，从式(1)消去中间变量i，得到二阶微分方程为：其相应的传递函数为：（6）（5）1.1.6状态空间表达式（8）设单输入一单输出定常系统，其状态变量为则状态方程的一般形式为：输出方程式则有如下形式：回到式（5）或式（6）的二阶系统，若改选和作为两个状态变量，即令则得一阶微分方程组为：同一物理系统，状态空间表达式不唯一因而多输入一多输出系统状态

6、空间表达式的矢量矩阵形式为：式中，x和A与单输入系统相同，分别为n维状态矢量和n×n系统矩阵；为r维输入(或控制)矢量；为m维输出矢量；（9）（10）用矢量矩阵表示时的状态空间表达式则为：1.1.7状态空间表达式的系统框图线性系统的状态空间模型可以用结构图的方式表达出来,以形象说明系统输入、输出和状态之间的信息传递关系。在采用模拟或数字计算机仿真时,它是一个强有力的工具。系统结构图主要有三种基本元件:积分器，加法器，比例器1.1.7状态空间表达式的系统框图式（9）和（10）可以用框图表示系统信号传递的关系。1.2状态变量及状态空

7、间表达式的模拟结构图状态空间表达式的框图可按如下步骤绘制：积分器的数目应等于状态变量数，将它们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。例1：对于一阶标量微分方程：例2：三阶微分方程：将最高阶导数留在等式左边，上式可改写成它的模拟结构图如下：例3：已知状态空间表达式，画出相应的模拟结构图。它的模拟结构图如下：例4：求下列二输出的二阶系统的模拟结构图。它的模拟结构图如下：1.3状态变量及状态空间表达式的建立(一)状态空间表达式的

8、建立一般可以从三个途径求得：由系统框图来建立，即根据系统各个环节的实际连接，写出相应的状态空问表达式；从系统的物理或化学的机理出发进行推导；由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化而得。1.3状态变量及状态空间表达式的建立(一)1.3.1从系统框图出发