现代控制理论第一章答案.doc

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1、习题解答2-12-22-32-42-52-62-72-82-92-102-112-122-132-142-152-162-172-182-1如题图2-1所示为RLC电路网络,其中为输入电压,安培表的指示电流为输出量。试列写状态空间模型。题图2-1解:(1)根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式.(2)在这个电路中,只要给定了储能R元件电感L和电容C上的iL和UC的初始值,以及t³t0时刻后的输入量Ui(t),则电路中各部分的电压、电流在t³t0时刻以后的值就完全确定了。也就是说,iL和UC可构成完整的描述系统行为的一组最少个数的变量组,因此可选iL和为UC状态变量,即x

2、1(t)=iL,x2(t)=uC(3)将状态变量代入电压电流的关系式,有经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组--状态方程(4)列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程,(5)将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达式2-2如题图2-2所示为RLC电路网络,其中为输入电压,为输出电压。试列写状态空间模型。题图2-2解:(1)根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式.(2)选择状态变量.状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容)的个数.对本题x1(t)=iL,x2(t)=uC(3)将状态变量代入电压电流的关系式,经

3、整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组--状态方程(4)列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程,(5)将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达式2-3设有一个弹簧-质量-阻尼器系统,安装在一个不计质量的小车上,如题图2-3所示。u和y为分别为小车和质量体的位移,k、b和m分别为弹簧弹性系数、阻尼器阻尼系数和质量体质量阻尼器。试建立u为输入,y为输出的状态空间模型。题图2-3解：下面推导安装在小车上的弹簧－质量－阻尼器系统的数学模型。假设时小车静止不动,并且安装在小车上面的弹簧－质量－阻尼器系统这时也处于静止状态(平衡状态)。在这个系统中,

4、是小车的位移,并且是系统的输入量。当时,小车以定常速度运动,即。质量的位移为输出量（该位移是相对于地面的位移）。在此系统中,表示质量,表示黏性摩擦系数,表示弹簧刚度。假设阻尼器的摩擦力与成正比,并且假设弹簧为线性弹簧,即弹簧力与成正比。对于平移系统,牛顿第二定律可以表示为：式中,为质量,为质量加速度,为沿着加速度的方向并作用在该质量上的外力之和。对该系统应用牛顿第二定律,并且不计小车的质量,我们得到：即：这个方程就是该系统的数学模型。对这个方程进行拉普拉斯变换,并且令初始条件等于零,得到：取之比,求得系统的传递函数为：下面我们来求这个系统的状态空间模型。首先将该系统的微分方程与下列标准形式

5、比较：得到：,,,,即而得到：并定义：可得到：输出方程为：即：2-4题图2-4为登月舱在月球软着陆的示意图。其中,m为登月舱质量,g为月球表面重力常数,项为反向推力,k为常数,y为登月舱相对于地球表面着陆点的距离。现指定状态变量组,输入变量,试列出系统的状态方程。题图2-4解：本题属于由物理系统建立状态空间描述的基本题。对给定力学系统,储能元件质量的相应变量即位置、速度和质量（本题中他也是随时间改变的）,可被取为状态变量组。基此,利用力学定律并考虑到输入变量,先来导出在将此方程组表为向量方程,就得到系统的状态方程：且由状态方程形式可以看出,给定力学系统为非线性系统。2-5某磁场控制的直流电

6、动机的简化原理图如题图2-5所示,其中电动机轴上的负载为阻尼摩擦,其摩擦系数为f;电动机轴上的转动惯量为J。设输入为电枢电压ua和激磁电压uf,输出为电机转角θ,试列出系统的状态空间模型。题图2-5解设电动机的铁芯工作在非饱和区。分析题图2-5所描述的电动机转速控制系统,可以写出电动机的主回路、励磁回路电压方程和轴转动运动方程为式中,Ea和M分别为如下电动机电枢电势和电动机转矩,且,式中,Ce和Cm分别为电动机的电枢电势常数和转矩常数；F为磁场的磁通量，其正比于励磁回路电流if；ke和km分别为比例常数。因此,主回路、励磁回路电压方程和轴转动运动可记为(2-13)对于上述微分方程组,若已知

7、电枢电流if(t)、角位移θ(t)及其导数在初始时刻t0的值,以及电枢电压ua和励磁回路电压uf,则方程组有惟一解。因此,可以选择状态变量为因此,由微分方程组(2-13)可得系统的状态方程为输出方程为y=θ=x2由上述状态方程和输出方程可得系统的非线性状态空间模型为2-6题图2-6为一化学反应器,它是一个均匀、连续流动单元,其中发生如下反应速率常数为k的一级吸热反应Ak→B该化工反应生产过程为:温度为常量θf,含A物质浓