现代控制理论习题 第一章

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1、第一章控制系统的状态空间描述3-1-1求图示网络的状态空间表达式，选取和为状态变量。（1）题3-1-1图1(2）题3-1-1图2【解】：(1)设状态变量:、而、根据基尔霍夫定律得：整理得(2)设状态变量：、而根据基尔霍夫定律得：整理得3-1-2如图所示电枢电压控制的它励直流电动机，输入为电枢电压输出为电动机角速度ω，电动机轴上阻尼系数为f，转动惯量J，试列写状态方程和输出方程。题3-1-2图【解】：设状态变量为：其中为流过电感上的电流，电动机轴上的角速度。电动机电枢回路的电压方程为：为电动机反电势。电动机力矩平衡方程为由电磁力矩和反电势

2、的关系，有，式中为电动机反电势系数，为电动机的转矩系数。为电动机轴上粘性摩擦系数，电动机轴上等效转动惯量。整理得(注：解是非唯一的)3-1-3试求图示系统的模拟结构图，并建立状态空间表达式。（1）题3-1-3图1（2）题3-1-3图2【解】：(1)如题3-1-3图3设状态变量题3-1-3图3写成矩阵的形式得：（2）如图题3-1-3图4设状态变量题3-1-3图4写成矩阵的形式得：(注：此题解并非唯一的)3-1-4已知系统的微分方程，试将其转变成状态空间表达式。(1)(2)(3)(4)【解】：在零初始条件下，方程两边拉氏变换，得到传递函数，

3、再根据传递函数求状态空间表达式。此题多解，一般写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。（1）传递函数为：状态空间表达式为：（2）传递函数为：状态空间表达式为：（3）传递函数为：状态空间表达式为：（4）传递函数为：状态空间表达式为：3-1-5已知系统的传递函数，试建立其状态空间表达式，并画出结构图。（1）（2）（3）（4）【解】：此题多解，一般可以写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。（1）结构图如图题3-1-5图1所示题3-1-5图1（2）结构图如图题3-1-5图2（a）所示题3-1-5图2(a)或有结

4、构图如图题3-1-5图2（b）所示题3-1-5图2(b)（3）结构图如图题3-1-5图3所示题3-1-5图3（4）结构图如图题3-1-5图4所示题3-1-5图43-1-6将下列状态方程化成对角标准型。（1）（2）（3）【解】：（1）特征方程为：。特征值为：系统矩阵为友矩阵，且特征值互异，因此可以化为对角标准型，其变换矩阵为范德蒙矩阵。变换阵：线性变换后的状态方程为：（2）特征方程为:特征值为：。设变换阵：P=由得当时，取当时，取当时，取变换阵：，线性变换后的状态方程为：（3）特征方程为：。特征值为：。系统矩阵为友矩阵，且特征值互异，因此

5、可以化为对角标准型，其变换矩阵为：线性变换后的状态空间表达式为：3-1-7将下列状态方程化成约旦标准型。（1）（2）（3）【解】：（1）特征方程为：特征值为：。设变换阵：由得：当时，取当时，取，线性变换后的状态空间表达式为：（2）特征方程为：特征值为：。设变换阵：当时，由得：，取当时，由得：，取当时，由得：，取变换阵：，线性变换后的状态空间表达式为：（3）特征方程为：。特征值为：。系统矩阵为友矩阵，且特征值有重根，因此可以化为约当标准型，其变换矩阵为：，，变换阵：，线性变换后的状态空间表达式为：3-1-8已知状态空间表达式，（1）试用进

6、行线性变换，变换矩阵求变换后的状态空间表达式。（2）试证明变换前后系统的特征值的不变性和传递函数矩阵的不变性。【解】：（1）（2）证明：变换后的系统矩阵为，输入矩阵为特征值的不变性：传递函数矩阵的不变性：验证：变换前的特征方程为：变换后的特征方程为：所以变换前后系统的特征值是不变的。3-1-9已知两个子系统的传递函数矩阵分别为，，试求两子系统串联后和并联后的传递函数矩阵。【解】：（1）串联在前，在后时在前，在后时（2）并联3-1-10已知离散系统的差分方程为，求系统的状态空间表达式，并画出系统结构图。【解】：根据差分方程，在零初始条件下

7、，方程两边Z变换，得到系统的脉冲传递函数为其结构图如图题3-1-10图所示：题3-1-10图3-1-11已知离散系统的状态空间表达式为，，求系统的脉冲传递函数。【解】：也可以直接写出。3-1-12已知系统的脉冲传递函数，试求系统的状态空间表达式。（1）（2）【解】：此题多解，一般可以写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。（1）（2）