2018_2019学年高中数学第一章统计案例1.2_1.3相关系数可线性化的回归分析学案北师大版

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1、1.2　相关系数1.3　可线性化的回归分析学习目标　1.了解线性相关系数r的求解公式，并会初步应用.2.理解回归分析的基本思想.3.通过可线性化的回归分析，判断几种不同模型的拟合程度．知识点一　相关系数1．相关系数r的计算假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则变量间线性相关系数r＝＝＝.2．相关系数r的性质(1)r的取值范围为[－1,1]．(2)

2、r

3、值越大，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越高．(3)

4、r

5、值越接近0，误差Q越大，变量之间的线性相关程度越低．3．相关性的分类(1)当r>0时，两个变量正相关．(2)当r<0时，两个变量负相关．(3

6、)当r＝0时，两个变量线性不相关．知识点二　可线性化的回归分析曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数幂函数曲线y＝axbc＝lnav＝lnxu＝lnyu＝c＋bv指数曲线y＝aebxc＝lnau＝lnyu＝c＋bx倒指数曲线c＝lnav＝u＝lnyu＝c＋bv对数曲线y＝a＋blnxv＝lnxu＝yu＝a＋bv1．回归分析中，若r＝±1说明x，y之间具有完全的线性关系．(　√　)2．若r＝0，则说明两变量是函数关系．(　×　)3．样本相关系数的范围是r∈(－∞，＋∞)．(　×　)类型一　线性相关系数及其应用例1　下图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注

7、：年份代码1－7分别对应年份2012－2018.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：i＝9.32，iyi＝40.17，＝0.55，≈2.646.参考公式：相关系数r＝，回归方程y＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b＝，a＝－b.解　(1)由折线图中数据和附注中参考数据得＝4，(ti－)2＝28，＝0.55.(ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈≈0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y

8、与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．(2)由＝≈1.331及(1)得b＝＝≈0.103，a＝－b≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y关于t的回归方程为y＝0.92＋0.10t.将2020年对应的t＝9代入回归方程得y＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．反思与感悟　(1)散点图只能直观判断两变量是否具有相关关系．(2)相关系数能精确刻画两变量线性相关关系的强弱．跟踪训练1　变量x，y的散点图如图所示，那么x，y之间的相关系数r的最接近的值为(　　)A．1B．－0.5C．0D．0.5考点　题点　

9、答案　C解析　从散点图中，我们可以看出，x与y没有线性相关关系，因而r的值接近于0.类型二　可线性化的回归分析例2　某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．(xi－)2(wi－)2(xi－)·(yi－)(wi－)·(yi－)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝，＝i.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(

10、给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)当年宣传费x＝49时，年销售量的预报值是多少？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＝，α＝－β.考点　非线性回归分析题点　非线性回归分析解　(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．由于d＝＝＝68，c＝－d＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的线性回归方程为y＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为y＝100

11、.6＋68.(3)由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值y＝100.6＋68＝576.6.反思与感悟　由样本数据先作散点图，根据散点图的分布规律选择合适的函数模型．如果发现具有线性相关头系，可由公式或计算器的统计功能，求得线性回归方程的两个参数．如果发现是指数型函数或二次函数，可以通过一些代数变换，转化为线性回归模型．跟踪训练2　在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：x0.250.5124y