数形结合和分类讨论

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1、一、数形结合思想方法Ⅰ、再现性题组：1.设命题甲：0

2、x－2

3、<3，那么甲是乙的_____。（90年全国文）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若log2b>1D.b>a>13.如果

4、x

5、≤,那么函数f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。(89年全国文)A.B.－C.－1D.4.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(

6、91年全国)A.增函数且最小值为－5B.增函数且最大值为－5C.减函数且最小值为－5D.减函数且最大值为－55.设全集I＝{(x,y)

7、x,y∈R}，集合M＝{(x,y)

8、＝1}，N＝{(x,y)

9、y≠x＋1}，那么等于_____。(90年全国)A.φB.{(2,3)}C.(2,3)D.{(x,y)

10、y＝x＋16.如果θ是第二象限的角，且满足cos－sin＝,那么是_____。A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角，也可能第三象限角D.第二象限角7.已知集合E＝{θ

11、cosθ

12、tgθ

13、}，那么E∩F的区间是_____。（93年全国文理）A.(,π)B.(,)C.(π,)D.(,)8.若复数z的辐角为，实部为－2，则z＝_____。A.－2－2ｉB.－2＋2ｉC.－2＋2ｉD.－2－2ｉ9.如果实数x、y满足等式(x－2)＋y＝3，那么的最大值是_____。(90年全国理)A.B.C.D.121.满足方程

14、z＋3－ｉ

15、＝的辐角主值最小的复数z是_____。【简解】1小题：将不等式解集用数轴表示，可以看出，甲＝>乙，选A;2小题：由已知画出对数曲线，选B；3小题：设sinx＝t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，选D

16、；4小题：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B；5小题：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B；6小题：利用单位圆确定符号及象限；选B；7小题：利用单位圆，选A；8小题：将复数表示在复平面上，选B；9小题：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D；10小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案－＋ｉ。【注】以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。y4y=1-m1O23xⅡ、示范性题组

17、：例1.若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。【解】原方程变形为即：设曲线y＝(x－2),x∈(0,3)和直线y＝1－m，图像如图所示。由图可知：①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3

18、行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）。12yADOBxC例2.设

19、z

20、＝5，

21、z

22、＝2,

23、z－

24、＝，求的值。【分析】利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。【解】如图，设z＝、z＝后，则＝、＝如图所示。由图可知，

25、

26、＝，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得：cos∠AOD＝＝∴＝(±ｉ)＝2±ｉyADOx【另解】设z＝、＝如图所示。则

27、

28、＝，且cos∠AOD＝＝，sin∠AOD＝±，所以＝(±ｉ)＝2±ｉ，即＝2±

29、ｉ。【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解。本题设三角形式后转化为三角问题的求解过程是：设z＝5(cosθ＋ｉsinθ)，z＝＋ｉsinθ)，则

30、z－

31、＝

32、(5cosθ－2cosθ)＋(5sinθ＋2sinθ)ｉ

33、＝＝，所以cos(θ＋θ)＝,sin(θ＋θ)＝±，＝＝[cos(θ＋θ)＋ｉsin(θ＋θ)]＝(±ｉ)＝2±ｉ。12本题还可

34、以直接利用复数性质求解，其过程是：由

35、z－

36、＝得：（z－）(－z)＝z＋z－zz－＝25＋4－zz－＝13,所以zz＋＝16,再同除以z得＋＝4，设＝z，解得z＝2±ｉ。几种解法，各有特点，由于各人的立足点