椭圆定义及其标准方程

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1、椭圆及其标准方程问题的提出：若将一根细绳两端分开并且固定在平面内的F1、F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形是什么呢？椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于

2、F1F2

3、）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、F2的距离的和等于常数2a，则F1(-c,0)、F2(c,0)。由定义知：()()222

4、221ycxMFycxMF+-=++=∵()()aycxycx22222=+-+++∴将方程移项后平方得：两边再平方得：标准方程的推导:由椭圆定义知：两边同除以得：这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上。如果椭圆的焦点在y轴上，用类似的方法，可得出它的方程为：它也是椭圆的标准方程。标准方程的推导:椭圆的标准方程yoF1F2MxyxoF2F1M快速练习：判定下列椭圆的焦点在那条轴上?并指出焦点坐标。答：在X轴。（-3，0）和（3，0）答：在y轴。（0，-5）和（0，5）判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则：哪个分母大,焦点就在哪条轴上,大的分母就是a2

5、.例1:已知椭圆的焦点在x轴上,焦距为8,椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10,求:该椭圆的标准方程.解:1.确定焦点在那条轴上。2.求出a,b的值。求椭圆的标准方程的关键：因为椭圆的焦点在x轴上,所以它的标准方程为:例2：求下列椭圆的焦点和焦距。故:所以椭圆的焦点为:焦距为2.解：因为5>4，所以椭圆的焦点在x轴上，并且例2：求下列椭圆的焦点和焦距。因为:16>8,所以椭圆的焦点在y轴上，并且所以椭圆的焦点为:焦距为:.解：将方程化成标准方程为：（2）分组练习：求椭圆的焦点坐标与焦距答：焦点（-3，0）（3，0）焦距2c=6答：焦点（0，-12）（0，12）焦

6、距2c=24练习2：（2），焦点在y轴上；（1），焦点在x轴上；写出适合下列条件的椭圆的标准方程:答案:小结：1、椭圆的定义.2、字母a,b,c之间的大小关系.3、在求椭圆方程的关键是什么?yxoF1F2M六、布置作业：1).P96习题8.1：1、2、3、2)预习:p94例2,p95例3本次课到此结束，再见！