高等数学第1章 函数 极限 连续

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1、第一章函数极限连续第一节函数与映射第二节数列的极限第三节函数的极限第四节无穷小量与无穷大量第五节函数极限的运算法则第六节极限存在准则两个重要极限习题课一第七节无穷小的比较第八节连续函数习题课二第一节映射与函数第一节映射与函数第一章一集合与映射函数二函数的概念极限三函数的几种特性连续四反函数和复合函数五初等函数吴新民--22-第一节映射与函数一集合与映射1集合第一章集合：具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.函数aA,aA,极限A{a1,a2,,an}有限集Ax{}x所具有

2、的特征无限集连续若xA,则必xB就说A是B的子集，记作AB.如AB,且B中有不在A的元素，则称A是B的真子集，记为AB.吴新民--33-第一节映射与函数数集分类:N----自然数集Z----整数集+Q----有理数集N----正整数集第一章R----实数集+数集间的关系:NN,NZ,ZQ,QR.函数如果AB,且BA,则称集合A和B相等，(AB)极限例如A2,1{},2连续C{xx3x20},则AC.不含任何元素的集合称为空集.(记作)2例如,{xxR,x1}0规

3、定空集为任何集合的子集.吴新民--44-第一节映射与函数2实数集定义1设AR,如果存在数LR,使得对一切第一章xA,都有x(),L则称A有上(下)界,称L为A的一个上(下)界.如果数集A既有上界又有下界,则称函数A是有界的,否则称A是无界的.极限定义2设A是一个非空数集,若存在一个上(下)界s,使得对A的一切上(下)界L,都有sL(),则称s连续是A的上(下)确界,记为sup(infAA).定理1任何一个非空的实数集A,如果有上(下)界,则必有上(下)确界.吴新民--55-第一节映射与函数区间是

4、指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.第一章abR,,且ab.{xaxb}称为开区间,记作(,)ab函数极限oabx连续{xaxb}称为闭区间,记作[,]aboabx吴新民--66-第一节映射与函数{xaxb}称为半开区间,记作[,)ab{xaxb}称为半开区间,记作(,]ab第一章有限区间[a,){xax}(,b){xxb}函数无限区间极限oax连续obx区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.吴新民--77-第一节映射与函数设a

5、与是两个实数，且0,称数集{

6、

7、xxa

8、}为点a的邻域,记作Ua().叫做这邻域的半径.第一章即U(a){xaxa.}函数极限aaax0连续点a的去心的邻域,记作Ua().0U(a){x0xa.}吴新民--88-第一节映射与函数3常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,第一章而数值变化的量称为变量.注意常量与变量是相对“过程”而言的.函数常量与变量的表示方法：极限通常用字母abc,,等表示常量,连续用字母x,,yt等表示变量.吴新民--99

9、-第一节映射与函数4映射定义3设A,B是两个非空集合,若对每个xA,第一章按照某个确定的法则f,有唯一确定的yB与它对应,则称f是A到B的一个映射,记作函数fAB:,或fxyfxxA:(),.极限其中y称为x在映射f下的像，x称为y在映射f下连续的一个原像(或逆像),A称为映射f的定义域,记为Df()或D,A所有元素x的像y的全体所构成的集f合称为f的值域,记为Rf或fA(),即RfA(){yyfxxA(),}f吴新民--1010-第一节映射与函数映射的两个基本要素：定义域与对应法则设fA

10、B:,如果RfB,则称f是一个满映射，第一章如果对A中的任意两个不同元素x12x,有fx()()fx函数12则称f是一个单射，如果一个映射既是满射，又是单射极限则称f是个一一映射.连续如果f是个一一映射，则对每个yB,有唯一的一个xA,适合fxy(),规定gy()x,则g就是B到A上的一个映射，称为f的逆映射，记为1fBA:吴新民--1111-第一节映射与函数其定义域DRBf1f,值域Rf1DAf.此时也称f是可逆映射.11第一章()ff设fABgBC:,:,则对每个

11、xA,对应唯一函数的一个yfxB(),从而对应唯一的一个zgyC(),极限这样就确定了一个从集合A到集合C的映射,这个映连续g所确定的复合映射,记为gf,即射称为f和gfAC:,(gfxgfxxA)()(()),任意两个映射fg,,则gf当且仅当RfgD.吴新民--1212-第一节映射与函数5绝对值:aa0a(a)0第一章aa0运算性质:abab;函数aa