高等数学第3章 中值定理与导数的应用

《高等数学第3章 中值定理与导数的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理第二节洛比达法则习题课一第三节泰勒公式第四节函数的增减性与极值第五节曲线的凹凸性与函数图形的描绘第六节曲率习题课二第一节中值定理第一节中值定理第三章中值定理与导数的应用一罗尔中值定理二拉格朗日中值定理三柯西中值定理吴新民--11-第一节中值定理一罗尔(Rolle)中值定理第三章几何引入y在两端点位于在同中值定理与导数的应用Cyf(x)一水平线上曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线是水平的.oabx12物理引入变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.吴新民--22-第一节中值定理罗尔（Rolle）定理设函数f(x)满足条件：第三章(1)f

2、(x)在闭区间[a,b]上连续;(2)f(x)在开区间(a,b)内可导;中值定理与导数的应用(3)在区间端点的函数值相等，即f(a)f(b),那末在(a,b)内至少有一点(ab),使得函数f(x)在该点的导数等于零，即f().0证f(x)在[a,b]连续,必有最大值M和最小值m.)1(若Mm.则f(x)M.由此得f(x).0(a,b),都有f().0吴新民--3-第一节中值定理)2(若Mm.f(a)f(b),最值不可能同时在端点取得.第三章设Mf(a),则在(a,b)内至少存在一点使f()M.中值定理与导数的应用f(x)f

3、(),f(x)f(),0f(x)f()若x,0则有;0xf(x)f()f()lim;0x0xf(x)f()若x,0则有;0xf(x)f()f()lim;0x0x吴新民--4-第一节中值定理f()存在,f()f().只有f().0推论设函数f(x)在区间(a,b)可导，且f(x)第三章在点x0处取到函数的最大（或最小）值，则必有f(x)0中值定理与导数的应用0注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.y例如,yx,x[2,2

4、];y

5、x

6、在[]2,2上除f)0(不存在外,满足罗尔定理2o2x的一切条件,但在内找不到一点能使f(x).0吴新民--5-第一节中值定理y1又例如,f(x)第三章f(x)1x,x1,0(],f)0(;0o1x中值定理与导数的应用yyxyx,x1,0[].1o1x吴新民--6-第一节中值定理aa1n例1设a0,0证明方程2n1n第三章aaxax001n至少有一个小于1的正根。证令a12ann1,中值定理与导数的应用f(x)axxx由于f(x)02n1在]1,0[上连续，在)1,0(上可导，且aaf(1)1nf(0),a

7、0021n则由罗尔定理可得,在)1,0(至少存在一点,使得f(),0n即a0a1an0n所以方程a0a1xanx0有一个小于1的正根.吴新民--7-第一节中值定理例2设f(x)在区间]2,0[上连续，在区间)2,0(上可导，且f)0(f)2(,0f)1(,1证明：在区间)2,0(第三章上至少存在一点,使得3f()2.0证令()3()2,Fxfxx则F)0(,0F)1(,2中值定理与导数的应用F)2(,4由于F(x)在区间]2,1[上连续,且F)1(F)2(80由连续函数的零点定理得,在区间)2,1(至少存在一

8、点,使得F(),0又由于F(x)在区间,0[]上连续,在区间,0()上可导,且F)0(F(),由罗尔定理知在区间,0()(2,0())至少存在一点,使得F()0即3f()2.0吴新民--8-第一节中值定理例3设函数f(x)在区间]1,0[一阶导数连续,在f(x)第三章)1,0(二阶可导,且lim,0f)1(,0证明:在区间x0x)1,0(上至少存在一点,使得f().0中值定理与导数的应用证由于f(x)在x0处可导,从而连续,且f(x)lim,0x0x所以ff(0)lim()x0,且x0fxf()(0)fx()f(

9、0)limlim0,x0x0x0x由于f(x)在区间]1,0[可导,且f)0(f)1(,0吴新民--9-第一节中值定理所以由罗尔定理得,在区间)1,0(上至少存在一点,使得第三章f()0.又因为f(x)在,0[]连续，在,0()可导,且中值定理与导数的应用f)0(f(),0所以由罗尔中值定理得,在区间(0,)(0,1)上至少存在一点,使得f().0吴新民--10-第一节中值定理5例4证明