2014广西高二“创新杯”数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准

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1、2014广西高二“创新杯”数学竞赛决赛试题及答案考试时间：2014年11月2日（星期日）8：30－10：30一、选择题（每小题6分，共36分,请将答案的序号填写在第二页答题区选择题相应题号后面的括号内）01．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB.∠B=45，AB=2CD=2,M为腰BC的中点，则MAMD（）（A）4（B）3（C）2（D）131答案：C。解析：以AB,AD建XY坐标系，则A0,0,D0,1,B2,0,C1,1,M,所以22313191

2、MA,,MD,,故MAMD2.222242(本题由柳州一中蒋小玲教师提供)。2x22．函数fx()2lgxxxlg1(x0)的最小值是（）8（A）1（B）0（C）1（D）不存在2x221答案：A。解析：由于fx()2lgxxxlg1(4lg)11xx，88且直线yx与y4lgx的图像有交点，∴函数的最小值为1.3．已知2tantan2,tan22，则tan等于（）23（A）（B）2（C）（D）32

3、31tanu答案：B。解析：令tanu.由tantan2，得2221tan1uuutantan1u233tan()u.由uu22,得tan2.1tantanu1u21u(本题由恭城中学韦兴洲老师提供)4．将一根长为1的线段折成三段，则这三段能构成三角形的概率是（）1111（A）（B）（C）（D）248161答案：B。解析：解析：设长度为1的线段随机折成a,b,c1(ab)三段，a,b,c(0,1)且1ab2a

4、bcab1(ab)1ab1。若三段能构成三角形，则有bcab1(aba)a，故所求概2cab1(abab)1b2111率等于由直线a,b,ab围成的三角形面积与由直线ab1、x轴、y轴围成的面222111积的比，即p。8243xxy12805．已知x,yR，且xx，则在平面直角坐标系中，点(,)xy对应的轨迹图3sin3siny022形为（）（A）一个点（B）两个点（C）三个点

5、（D）除A、B、C外的其他图形333xxxxxx3答案：A。解析：xxy1280变形为30y，则3sin3sin，2222223xx构造函数f()xxx，则f()x在R单调递增，从而sin，22x0，y0，从而点(,)xy对应的轨迹图形为一个点.2xxx,0,136．定义域为R的函数f()x满足f(2xf)2()x，当x0,2时，fx()x，12,1x,22t1若x4,2

6、时，fx()恒成立，则实数t的取值范围是（）42t（A）2,00,1（B）2,01,（C）2,1（D）,20,11答案：D。解析：当x0,1时，易求得f()x的最小值为;当x1,2时，易求得f()x的最4小值为1，故当x0,2时，f()x的最小值为1.211x4,2x40,2，fx()fx(2)fx(4)，所以当x4,2时，f()x的242111ttt2最小值为.因此

7、02tt或01。4442tt二、填空题（每小题9分，共54分，请将答案填写在第二页答题区填空题相应题号后面的横线上）1．从1,2,3,,2014这2014个整数中随机抽取一个整数，抽到的数能被6整除但不能被4整除的概率为．8420142014答案：。解析：能被6整除的数共有335个，能被12整除是数有167100761216884个。故能被6整除但不能被4整除是数共有335167168，所求概率为P。201410072．已知三棱锥PABC中，

8、PA⊥底面ABC，∠ABC=120º，PA=2AB=2BC=2。若三棱锥PABC内接于球，则球的体积为．82答案：。解析：将三棱锥补形为正六棱柱，即可求得球的半径为2。33．在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上.AD的长度的最小值为．答案：233。解析：设ADx,ADE，作△ADE关于DE的对称图形，A的对称点Gxx13落在BC上。在△DGB中，xsinsin(2)32sin(2)333