2020高考数学一轮复习2.1函数及其表示讲义理

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1、第一节函数及其表示1．函数与映射函数映射两集合A，B设A，B是非空的数集设A，B是非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x

2、的取值范围A叫做函数的定义域❶；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)

3、x∈A}叫做函数的值域❷.显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．3．分段函数❸若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．,(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则

4、表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交.[熟记常用结论](1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；(5)若f(x)描述实

5、际问题，则要求使实际问题有意义．如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)(3)函数是一种特殊的映射．(　　)(4)若A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝

6、x

7、，则对应f可看作从A到B的映射．(　　)(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×二、选填题1．下列图形中可

8、以表示为以M＝{x

9、0≤x≤1}为定义域，以N＝{y

10、0≤y≤1}为值域的函数的是(　　)解析：选C　A选项，函数定义域为M，但值域不是N，B选项，函数定义域不是M，值域为N，D选项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不能构成函数关系．故选C.2．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)A．y＝()2　　　　　B．y＝＋1C．y＝＋1D．y＝＋1解析：选B　对于A，函数y＝()2的定义域为{x

11、x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义

12、域为{x

13、x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.3．函数f(x)＝＋的定义域为________．解析：由题意得解得x≥0且x≠2.答案：[0,2)∪(2，＋∞)4．若函数f(x)＝则f(f(2))＝________.解析：由题意知，f(2)＝5－4＝1，f(1)＝e0＝1，所以f(f(2))＝1.答案：15．已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则f(2)＝________.解析：∵函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)∴4＝－a＋2

14、，∴a＝－2，即f(x)＝－2x3－2x，∴f(2)＝－2×23－2×2＝－20.答案：－20[典例精析](1)已知f＝lgx，求f(x)的解析式．(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．[解]　(1)(换元法)令＋1＝t，得x＝，代入得f(t)＝lg，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg，x∈(1，＋∞)．(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0

15、，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以解得a＝b＝.所以f(x)＝x2＋x，x∈R