2020年高考数学（文）一轮复习讲练测专题2.1 函数及其表示（讲） 含解析

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1、专题2.1函数及其表示1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).知识点1．函数与映射的概念(1)函数：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自

2、变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)

3、x∈A}叫做函数的值域．(2)映射：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．知识点2．函数的表示方法(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法．(2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法．(3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方

4、法叫做列表法．知识点3．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等．知识点4．分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系不同，则这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．知识点5．复合函数一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(

5、x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．考点一求函数的定义域【典例1】【2019年高考江苏】函数的定义域是.【答案】[-1,7]【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知得,即，解得，故函数的定义域为[-1,7].【方法技巧】(1)求具体函数y＝f(x)的定义域(2)求抽象函数的定义域一般有两种情况：①已知y＝f(x)的定义域是A，求y＝f(g(x))的定义域，可由g(x)∈A求出x的范围，即为y＝f(g(x))的定义域；②已知y＝f(g(x))的定义

6、域是A，求y＝f(x)的定义域，可由x∈A求出g(x)的范围，即为y＝f(x)的定义域．【变式1】(2018·江苏高考)函数f(x)＝的定义域为________．【答案】{x

7、x≥2}【解析】由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2，满足x>0，所以函数f(x)＝的定义域为{x

8、x≥2}．考点二求函数的解析式【典例2】（2019·河北唐山一中模拟）已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．【答案】f(x)＝x2＋x，x∈R.【解析】

9、设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以解得a＝b＝.所以f(x)＝x2＋x，x∈R.【方法技巧】函数解析式的常见求法(1)配凑法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理或配凑成只含h(x)的式子，然后用x将h(x)代换．(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数

10、、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．(3)换元法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．(4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f(或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．【变式2】（

11、2019·山西省阳泉一中模拟）已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．【答案】f(x)＝，x∈R.【解析】由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.即f(x)＝.故f(x)的解析式是f(x)＝，x∈R.考点三分段函数求值【典例3】（2019·吉林辽源一中模拟）已知f(x)＝则f＝________.【答案】9【解析】∵f＝log3＝－2，∴f＝f(－2)＝－2＝9.【方