线性变换的不变子空间

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1、§5线性变换的不变子空间教学目的：使学生了解不变子空间的概念及其与线性变换矩阵化简的联系.教学重点与难点：不变子空间与线性变换矩阵的化简之间的联系.线性变换A的特征子空间中的任意一个向量在A作用下的象都是原向量的倍数,从而仍然在这个子空间中.受此启发,我们引入不变子空间的概念.定义5.1设A是数域K上的线性空间V的线性变换,W是V的一个子空间.如果α∈WW⇒∈A(α)则称W为线性变换A的不变子空间,简称A子空间.例5.1全空间V和零子空间{0}对于每个线性变换A来说都是不变子空间.例5.2线性变换A的象ImA与核KerA都是A的不变子空间.例5.3线性变换A的属于特征值λ的特征子空

2、间0V是A子空间.λ0例5.4两个A子空间WW,的交WW12∩与和12WW+仍然是A子空间.12设W是线性变换A的一个不变子空间.由于W中的向量在A下的象仍在W中,故可以只在W中考虑A的作用,即把A看成是W的一个线性变换,称之为A在不变子空间W上的限制变换,记为A

3、.W现在来讨论不变子空间与线性变换的矩阵化简之间的联系.设W是线性变换A的一个不变子空间.取W的一个基η,,?η,再把它扩充为整个空间V的一个基1rη11,,??ηηrr,+,,ηn(5.1)由于A(η1),?,A(ηr)∈W,故它们可由η1,,?ηr线性表示,所以A关于基(5.1)的矩阵有如下形状⎛⎞aa??aa111

4、rr1,+11n⎜⎟@@@@⎜⎟⎜⎟aa??aa⎛⎞AArr1,rrr+1rn13⎜⎟=⎜⎟00??aa0A⎜⎟rr++1,1rn+1,⎝⎠2⎜⎟@@@@⎜⎟⎜⎟00??aa⎝⎠nr,1+nn命题5.1设A是n维线性空间V的一个线性变换.A关于某个基的矩阵是分块对角阵的充分必要条件是V可以分解成一些A子空间的直和.这个命题由同学们自己证明.