付辽 一个线性变换的所有不变子空间探讨

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1、淮北师范大学2011届学士学位论文一个线性变换的所有不变子空间探讨学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向代数学学生姓名付辽学号20071101038指导教师姓名杜翠真指导教师职称讲师2011年4月15日一个线性变换的所有不变子空间探讨付辽（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要线性变换的不变子空间理论是高等代数的重要理论之一,但是对于一个线性变换的所有不变子空间，在高等代数教材中也只是简单的讲解一下，于是本文对它做了更进一步的讨论.本文首先给出了线性变换与不变子空间的定义，然后介绍线性变

2、换以及不变子空间的性质，讨论了复数域及一般数域P上的线性空间的线性变换的不变子空间.同时本文总结了求解一个线性变换所有不变子空间的方法，并且结合一些实例加以应用.关键词：线性变换，子空间，不变子空间DiscussiononallinvariantsubspacesofLineartransformationFuLiao(SchoolofMathematicalScience,HuaibeiNormalUniversity,Huaibei,235000)AbstractThetheoryoftheinvar

3、iantsubspacesoflineartransformationistheimportanttheoryofhighalgebra.Butthediscussiononalltheinvariantsubspaceofthelineartransformationisexplainedsimplyinthehighalgebratext-book,thepapermakesfurtherdiscussion.Atfirstitgivesthedefinitionoflineartransformat

4、ionandinvariantsubspaces.Thenintroducesthenatureoflineartransformation,discussestheinvariantsubspacesoflineartransformationinthecomplexfieldandthegeneralnumberfieldP,atthesametime,thepapersummesupthemethodtosolvetheinvariantsubspacesofthelineartransformat

5、ion,combiningwithsomeapplicationexamples.Keywords:lineartransformation，subspace，invariantsubspace目录引言1一、预备知识1（一）、线性变换和不变子空间定义1（二）、不变子空间的性质1（三）、线性变换与不变子空间的相关定理3二、复数域上线性变换的所有不变子空间6三、一般数域P上的线性变换的不变子空间8四、应用举例11结束语14参考文献14致谢15引言线性变换与不变子空间是高等代数中的重要的概念，但是对于一个线性变

6、换的所有不变子空间的探讨，在高等代数教材中也只是粗略的讲解一下.为了增加这方面的知识，本文首先给出了线性变换，子空间的定义和不变子空间的性质,由线性变换与不变子空间的相关定理,得出复数域上和一般数域P上的线性变换的所有不变子空间.这样对每一个具体的线性变换,我们能表示出它的不变子空间,所以本文尝试探究一个线性变换的所有不变子空间的求法，又给出了一些具体应用事例.本文如不特别指明,所考虑的线性空间都是某一数域P上的线性空间，线性空间V上的线性变换的集合为L(V).一、预备知识（一）、线性变换和不变子空间定义

7、定义1线性空间的一个变换称为线性变换,如果对于中任意的元素和数域中任意数，都有定义2设是数域上线性空间的线性变换,是的子空间.如果中的向量在下的像仍然在中,换句话说,对于中任意一个向量,有我们就称是的不变子空间,简称子空间.（二）、不变子空间的性质15性质1设，，都是的不变子空间，则都是的不变子空间.证明设，则存在,使得.所以,故而为的不变子空间.同理可证为的不变子空间.性质2设，若为的不变子空间，则也是的不变子空间，其中是数域上的多项式.证明由于()是数域上的多项式，不妨设，所以.则有，故依次可知，所以

8、为的不变子空间.性质3设，若可逆且为的不变子空间，则也为的不变子空间.证明由于为的不变子空间,，有.又因为可逆，故，有，所以，于是，也是的不变子空间.性质4设是线性变换，的不变子空间，则在，下也不变.证明，从而，故在，下均不变.15（三）、线性变换与不变子空间的相关定理定理1设是n维线性空间V的线性变换，证明V可以分解成的n个一维不变子空间的直和的充分必要条件是，V有一个由的特征向量组成的基.证明设，其中每个都是的一维不变子空