关于线性变换的不变子空间研究

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1、目录1.线性变换的不变子空间1.1代数学的发展历程简介1.2线性变换的不变子空间的概念及性质1.3线性变换的不变子空间性质的多种证明2.研究线性变换的不变子空间的必要性与可行性2.1研究该问题的必要性2.2研究该问题的可行性3.线性变换的不变子空间的国内外研究现状3.1国内研究现状3.2国外研究现状4.线性变换的不变子空间的应用4.1理论上的应用4.2生活中的应用5.心得体会摘要线性变换的不变子空间理论是高等代数的重要理论之一，但是对于一个线性变换的不变子空间，在高等代数教材中也是简单的讲解一下，于是本文对它做了更进一步的讨论。空

2、间中的任何元素经过映射后，新的元素仍然在这个空间里，这个空间叫做这个映射下的不变子空间，不变子空间是原空间的一个子集，对于原空间运算也构成空间且封闭，其作用是可以在子空间去考虑原空间的代数性质，而不必回到原空间，从而将问题简化，本文的研究内容也是建立在这个基础之上的。关键词：线性变换不变子空间的性质地位应用1.线性变换的不变子空间1.1代数学的发展历程简介数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限

3、运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。“代数”（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米（al-Khowārizmī，约780－850）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wa’l muqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr 意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；mu

4、qabalah 意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。 花拉子米科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等领域．他撰写了许多重要的科学著作．在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：《代数学》和《印度的计算术》． 1859年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论

5、何数，皆可以任何记号代之”，亦即：代数，就是运用文字符号来代替数字的一种数学方法。 古希腊数学家丢番图（Diophantus）用文字缩写来表示未知量，在公元250年前后丢番图写了一本数学巨著《算术》（Arithmetica）。其中他引入了未知数的概念，创设了未知数的符号，并有建立方程序的思想。故有“代数学之父”（Father of algebra）的称号。 代数是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人一棒接一棒而完成的伟大数学成就。1.2有关线性变换的不变子空间的概念(1)线性变换的定义如果对于线性空间V中的任意两个元

6、素α、β和数域P中任意数k，在线性变换А下都满足加法和数乘法则，那么变换А称为线性空间V下的线性变换。对于线性变换满足的加法和数乘法则，也可以说成线性变换保持向量的加法与数量乘法。（2）不变子空间的概念理解空间中的任何元素经过映射后，新的元素仍在这个空间里，这个空间叫做这个映射下的不变子空间，不变子空间是原空间的一个子集，对于原空间运算也构成空间且封闭。其作用是可以在子空间去考虑原空间的代数性质，而不必回到原空间，从而将问题简化。1.3线性变换的不变子空间的性质及性质的证明（1）V空间本身和零子空间，对于每个线性变换Ａ来说都是А-

7、子空间（2）某线性空间下的任意两个不变子空间的交与和仍然是该线性空间下的不变子空间。①对任意a,b属于W∩U有a,b属于W,a,b属于U而W,U是V的线性变换T的不变子空间所以T(k1a+k2b)=k1T(a)+k2T(b)属于W,也属于U所以T(k1a+k2b)属于W∩U所以W∩U也是T的不变子空间.②W+U中的元素都可表示为a+b形式,其中a属于W,b属于U.对W+U中任意两个元素a1+b1,a2+b2有T(k1(a1+b1)+k2(a2+b1))=k1T(a1+b1)+k2T(a2+b1)=k1(T(a1)+T(b1))+k

8、2(T(a2)+T(b1))=k1T(a1)+k2T(a2)+k1T(b1)+k2T(b2)属于W+U所以W+U也是T的不变子空间.（3）设矩阵A，B属于复数域上的n维矩阵，A，B可交换，即AB=BA证明A的特征子空间一定是B的不变子空间对A的属于