资源描述：
《线性系统的核空间、象空间、不变子空间的直观诠释》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、线性系统的核空间、象空间、不变子空间的直观诠释第25卷第6期2010年12月电力J()URNALOFELECTRICPOWERVoI.25NO.6Dec.2O1O?数学分析?文章编号:10056548(2010)06—0496—04线性系统的核空问,象空间,不变子空间的直观诠释韩肖宁,董欣,冯帆.(1.山西大学工程学院,太原030013;2.太原理工大学,太原030024)摘要:"线性系统的几何理论"是将线性系统的动态分析转化为状态空间中相应的几何问题.这种几何方法的特点是简洁明了,避免了状态空间中大量繁杂的矩阵推演计算.拟从核
2、空间,象空间,不变子空间入手,给予它以直观的诠释.目前,几何理论已广泛应用于系统分析与综合中,特别是Robust调节器设计有关定理证明,自始至终都使用了核空间,象空间的概念与计算方法.关键词:线性系统几何理论;核空间;象空间;不变子空间中图分类号:()231.1文献标识码:A"线性系统的几何理论"是采用几何语言对线性系统进行描述分析与综合.使用了核空间,象空间,不变子空间等概念.在Robust调节器设计及其引理证明中,都使用了"线性几何理论"的基本概念和运算方法,而且立论严谨,简洁清晰.但是对于工程背景的学习者和研究者来说,会感
3、到比较抽象,因而需要具备一定的相应数学基础.为此,我们希望通过本文能起到学习"几何理论"基本概念的导引作用.1子空间子空间的交直和1.1子空间的定义设W是7"/维线性空间的一个非空子集,即w(==,若w满足下面条件:(1)对任一向量xEW,以及任意实数"ER,恒有a.x∈W;(2)对任意两个向量X,X.EW,恒有X+X.∈W;则称W为的一个子空间.以上两条说明关于中定义的数乘运算和加法运算是封闭的.子空间又可如下定义:若中子集w关于数乘,加法运算是封闭的(即w关于数乘,加法自成一个线性空间),则称w为的子空间.不难看出,条件(1
4、),(2)等价于如下条件.(3)1,X2∈W,口l,Ⅱ2ER,恒有:n1X1+a2x2EW.因此为了验证是否是子空间,只需验证条件(1),(2)或条件(3)即可.现在考虑一般的情形,设a,a…a,EV",考虑线性组合:a一口1a1+&2a2+…+&af'aER,i=1,2,…,Z.(1)将所有形式如式(1)的线性组合所构成的向量集合记为(==.容易验证是一个子空间,记为:V一span{a1,a2,…,af).(2)称是由a,a…a所组成的子空间.向量组经初等变换后,不改变其所张成的子空间.如Ⅱ1,(f.…(f是n
5、,n.…n的极大线性无关组,则它们所形成的子空间相同,且维数为川,即这子空间的维数为极大线性无关组所包含的向量的个数.因此,可利用向量初等变换,将式(2)化为最简单形式.今后,求一个子空间也即求形如(2)的最简单形式.1.2子空间的交设,(==是两个子空间,将既属.又属的所有向量构成的集合记为称为与:的交,记为:V12一V1nV2.收稿日期:2O10—1019作者简介:韩肖宁(1955一),女,山西太原人,教授,主要从事电路理论的教学和研究工作,(E—rllail)hxn55@sina.com第6期韩肖宁等:线性系统的核空间,象
6、空间,不变子空间的直观诠释497容易证明.也是子空问.若,已知,由下例给出交空问V.的求法.1.3直和设V,V.是中两个子空间,设,.分别为,V中任意一个向量.那么,由形如一a.+.的所有向量构成的集合记为V+.一V+V:,容易验证它是一个子空间,称它为V,.的和空间.当nV:一0(即交为零空问),此时与V的和称为直和,记为:V1一一V1①V2,如V1一span{口1,口2,…,口},Vz—span{,z,…,卢},根据定义可知:10V:一span{l,2,…,口,1,2,…,}.,口z,…,口,卢,,…,是∈王):的一组基底,
7、且空间的维数满足如下关系:dim(V10V2)一dim(V)+dim(V!)一z+P.反之,若:dim(l+V2)一ctim(V1)+dim(V!).则V与,,.是直和.2线性映射象空间与核空间不变子空间2.1线性映射与矩阵设数域P上的两个线性空间V与分别为维和维,考虑到V到V的一个对应:V—,如果满足下列条件:(1)对任意一个Y∈V,有唯一的(Y)∈V与之对J立;(2)对任意Y,Y2∈V以及口1,"2∈R,恒有(以1Y1+"2Y2)一Ⅱ1盯(Y1)+n2盯(Y2).则称是V到的一个线性映射.设是V到V的一个线性映射,Y∈V,则
8、称()∈为Y的象,而称Y为—(Y)的原象.如果()一0,必有Y一0,则称为一一映射.若d为一一映射,那么当Y≠Y时.则(Y)≠(Yz).如果对任意∈V,恒存在Y∈V,使得一(y),则称为在上映射.若为一一映射又是在上映射,则称为一一在上映射,此时与V的维数必然相
