《概率及概率分布》PPT课件

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1、第三讲概率及概率分布沈建荣jrshen@ynu.edu.cn一、概率定义与计算（略）二、随机变量的统计特性连续型随机变量的描述及特征设f(x)为连续型随机变量X的概率密度函数，则累积分布函数为连续型随机变量的期望（均值）、总体中位数xm连续型随机变量的方差例1a（连续型随机变量）某厂加工一种圆孔套件，轴与孔径的间隙为随机变量X(cm），其概率分布密度函数为：1、若间隙大于0.8则不合格，问该厂加工的废品率是多少？2、优等品（间隙小于0.4）的比例是多少？3、求间隙的均值、总体中位数和方差。计算1、废品率：面积即为概率计算2、优等品率：面积即为概率计算3、均值、总体中位数和方差：例1

2、b（离散型随机变量）某保险公司设计一款一日游健康保险产品。根据市场调查，产品设计为：轻伤赔付500元（平均发生比例1%），重伤赔付10000元（平均发生比例0.1%），死亡赔付200000元（平均发生比例0.01%）。问按照盈亏平衡原则的收费最少为多少？分析只需计算出每一份产品的理赔值即可。因为该变量为不确定的随机变量，所以应该计算变量的期望值。（产品价格当然还应加上产品的销售、管理等等成本以及合理的利润点，关于这些方面的问题，本例不作探讨）计算记理赔值为随机变量X，则X的概率分配为：X（元）P(X=x)备注5001%轻伤100000.1%重伤2000000.01%死亡099.89%无

3、事故续产品价格不能低于理赔额，保单价格应为35元加上管理和销售成本，再加上合理的利润。随机变量的线性函数随机变量的线性函数期望（均值）方差例2某地居民家庭平均年收入为2.5万元，方差为1。人们习惯将收入的25%扣除500元的保险后作为储蓄，问该地家庭年均储蓄为多少？方差多少？计算：独立随机变量线性组合的均值与方差如果X1,X2,…,Xp为相互独立的随机变量，则线性组合期望方差例3在例1中，设套件直径的均值为30.35cm，标准差为0.03cm，轴直径30.25cm。标准差为0.02cm。求间隙的均值，假设轴和套的选取是相互独立的，求间隙的标准差。计算设套孔直径为X1，轴直径X2，则间隙

4、：联合连续型随机变量如果随机变量X和Y的概率可以通过对一个二元函数的积分得到，则称X和Y是联合连续，这个二元函数称为X和Y的联合概率密度函数（jointprobabilitydensityfunction）边际概率密度函数(marginalprobabilitydensityfunction)联合概率密度函数关于其中一个变量的全部积分即得到另一个随机变量的边际概率密度函数。条件分布概率密度函数(conditionalprobabilitydensityfunction)设X和Y为联合连续型随机变量，联合概率密度为f(x,y)，在给定X=x的条件下，Y的条件概率密度函数为：在给定X=x的

5、条件下，Y的条件期望为：独立性当下列条件成立时，称X和Y是相互独立的即随机变量的独立与事件的独立很相似，Y的条件分布不依赖于X显然，当X和Y是相互独立的，则有协方差（covariance）当两个随机变量不独立时，协方差可以衡量二者之间的关系方向与强度。随机变量X和Y的总体协方差例5a某物体在由坐标系X轴、直线x=1以及直线y=x围成的区域A（如图示）内随机出现，(X,Y)表示物体在某一时间内出现的位置，且X和Y的联合概率密度为：求X和Y的协方差。计算（X的边际概率密度）（Y的边际概率密度）（X的期望）（Y的期望）（XY的期望）例5b已知（X,Y）服从二维正态分布N（a,b,δ12,δ2

6、2,ρ),联合概率密度函数为：试计算y的概率密度函数。计算先计算X的边际概率密度函数：注意到：续积分得到：续作代数变换：代入前式得：即X的边际概率分布依然是正态分布N（a,δ12),。续进一步计算出Y的条件密度函数为：Y的期望条件为：相关系数协方差包含着两个随机变量的单位，当多个随机变量两两比较时，就无法确定相互间关系的强弱，相关系数可以解决这一问题。总体相关系数（populationcorrelation）定义为：可以证明，对于任意两个随机变量均有：随机变量线性组合的的均值与方差特别地有：例6：鸡蛋应该放在不同篮子里吗？有两个项目，每个需投资100万元，预期投资回报为随机变量。假设投

7、资回报期望都是10万元，已知不确定性（标准差）都是4万元，且两个项目之间存在相关关系，相关系数假设为0.5。现在你有200万元投资款，你应该将全部资金投于一个项目还是分投两个项目？分析投资（尤其是短期）决策主要考虑两个因素：预期投资回报和风险。预期投资回报可以用随机变量的期望来衡量；分析则可以用随机变量标准差来衡量。若投资回报相同，则选择风险较小的方案；若投资回报不同相同，则根据决策者的风险偏好来选择方案。（另：人类是风险喜好者还是规避者？如果