高中数学推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法学案新人教a版

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1、2．2.1　综合法和分析法学习目标　1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．知识点一　综合法思考　阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.答案　利用已知条件a>0，b>0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论．梳理　(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理

2、等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．(2)综合法的框图表示―→―→―→…―→(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)知识点二　分析法思考　阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？已知a，b>0，求证：≥.证明：要证≥，只需证a＋b≥2，只需证a＋b－2≥0，只需证(－)2≥0，因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．答案　从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．梳理　(1)定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证

3、明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．(2)分析法的框图表示―→―→―→…―→1．综合法是执果索因的逆推证法．(　×　)2．分析法就是从结论推向已知．(　×　)3．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．(　√　)类型一　综合法的应用例1　在△ABC中，三边a，b，c成等比数列．求证：acos2＋ccos2≥b.考点　综合法及应用题点　利用综合法解决不等式问题证明　因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac.因为左边＝＋＝(a＋c)＋(acosC＋ccosA)＝(a＋c)＋＝(a＋c)＋b≥＋＝b＋＝

4、b＝右边，所以acos2＋ccos2≥b.反思与感悟　综合法证明问题的步骤跟踪训练1　已知a，b，c为不全相等的正实数．求证：＋＋>3.考点　综合法及应用题点　利用综合法解决不等式问题证明　因为＋＋＝＋＋＋＋＋－3，又a，b，c为不全相等的正实数，而＋≥2，＋≥2，＋≥2，且上述三式等号不能同时成立，所以＋＋＋＋＋－3>6－3＝3，即＋＋>3.类型二　分析法的应用例2　设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．考点　分析法及应用题点　分析法解决不等式问题证明　当a＋b≤0时，∵≥0，∴≥(a＋b)成立．当a＋b>0时，用分析法证明如下：要证≥(a＋b)，只需证()2≥2，即证a2＋

5、b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴≥(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．反思与感悟　分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的．它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”．跟踪训练2　已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤.考点　分析法及应用题点　分析法解决不等式问题证明　a⊥b⇔a·b＝0，要证≤，只需证

6、a

7、＋

8、b

9、≤

10、a＋b

11、，只需证

12、a

13、

14、2＋2

15、a

16、

17、b

18、＋

19、b

20、2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证

21、a

22、2＋2

23、a

24、

25、b

26、＋

27、b

28、2≤2a2＋2b2，只需证

29、a

30、2＋

31、b

32、2－2

33、a

34、

35、b

36、≥0，即证(

37、a

38、－

39、b

40、)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．类型三　分析法与综合法的综合应用例3　△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其对边分别为a，b，c.求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.考点　分析法和综合法的综合应用题点　分析法和综合法的综合应用证明　要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证＋＝，即证＋＝3，即证＋＝1.即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋

41、b)(b＋c)，即证c2＋a2＝ac＋b2.因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2cacos60°，即b2＝c2＋a2－ac.所以c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证．引申探究　本例改为求证>.证明　要证>，只需证a＋b＋(a＋b)c>(1＋a＋b)c，即证a＋b>c.而a＋b>c显然成立，所以>.反思与感悟　综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过