2018年高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法学案

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1、2.2.1　综合法和分析法学习目标：1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)2.会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．综合法定义推证过程特点利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法→→→…→(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)顺推证法或由因导果法2.分析法定义框图表示特点一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结

2、为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法.逆推证法或执果索因法.思考1：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？[提示]综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．思考2:综合法与分析法有什么区别？[提示]综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．[基础自测]1．思考辨析(1)综合法是执果索因的逆

3、推证法．(　　)(2)分析法就是从结论推向已知．(　　)(3)所有证明的题目均可使用分析法证明．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其过程应用了(　　)【导学号：48662070】A．分析法　　　　　　B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证法B　[从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．

4、]3．要证明A>B，若用作差比较法，只要证明________．A－B>0　[要证A>B，只要证A－B>0.]4．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．a2＋b2－2ab≥0　(a－b)2≥0　(a－b)2≥0　[用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．][合

5、作探究·攻重难]综合法的应用　(1)已知a，b是正数，且a＋b＝1，证明：＋≥4.(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.①求证：A的大小为；②若sinB＋sinC＝，证明△ABC为等边三角形.【导学号：48662071】[证明]　(1)　法一：因为a，b是正数且a＋b＝1，所以a＋b≥2，所以≤，所以＋＝＝≥4.法二：因为a，b是正数，所以a＋b≥2>0，＋≥2>0，所以(a＋b)≥4.又a＋b＝1，所以＋≥4.法三：＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋

6、2＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．(2)①由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，所以cosA＝＝，所以A＝.②因为A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝180°－60°＝120°.由sinB＋sinC＝，得sinB＋sin(120°－B)＝，sinB＋(sin120°cosB－cos120°sinB)＝，sinB＋cosB＝，即sin(B＋30°)＝1.因为0°

7、，B＝60°.所以A＝B＝C＝60°，即△ABC为等边三角形．[规律方法]　综合法的解题步骤[跟踪训练]1．如图221所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．图221(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.[证明]　(1)在四棱锥PABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，

8、可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD内的射影是AD.又AB⊥AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.分析法的应用　设a，b为实数，求证：≥(a＋b)