高中数学推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法学案新人教a版

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1、2．2.2　反证法学习目标　1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．知识点　反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”思考　本故事中王戎运用了什么论证思想？答案　运用了反证法思想．梳理　(1)定义：假设原命题不成

2、立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．(2)反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．1．反证法属于间接证明问题的方法．(　√　)2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．(　×　)3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．(　√　)类型一　用反证法证明否定性命题例1　已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋

3、ab＋cd≠1.考点　反证法及应用题点　反证法的应用证明　假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0.所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾，故假设不成立．所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.反思与感悟　(1)用反证法证明否定性命题的适用类型：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的

4、命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．(2)用反证法证明数学命题的步骤跟踪训练1　已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．考点　反证法及应用题点　反证法的应用证明　假设，，成等差数列，则2＝＋，∴4b＝a＋c＋2.①∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，②由②得b＝，代入①式，得a＋c－2＝(－)2＝0，∴a＝c，从而a＝b＝c.这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，∴假设不成立．故，，不成等差数列．类型二　用反证法证明“至多、至少”

5、类问题例2　a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.考点　反证法及应用题点　反证法的应用证明　假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.因为a，b，c∈(0,2)，所以2－a>0,2－b>0,2－c>0.所以≥>1.同理≥>1，≥>1.三式相加，得＋＋>3，即3>3，矛盾．所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.引申探究　已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.证明　假设(1－a)b，

6、(1－b)c，(1－c)a都大于.∵a，b，c都是小于1的正数，∴1－a,1－b,1－c都是正数．∴≥>＝.同理，>，>.三式相加，得＋＋>，即>，显然不成立．∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.反思与感悟　应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个

7、x0成立至少有n个至多有n－1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n＋1个p且q綈p或綈q跟踪训练2　已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．考点　反证法及应用题点　反证法的应用证明　假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，且Δ3

8、＝4a2－4bc≤0.同向不等式求和，得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，所以a＝b＝c.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．类型三　用反证法证明唯一性命题例3　求证：方程2x＝3有且只有一个根．考点　反证法及应用题点　反证法的应用证明　∵2x＝3，∴x＝log23.这说明方程2x＝3有根．下