2018年高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法学案

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1、2.2.2　反证法学习目标：1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点、易混点)2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点)[自主预习·探新知]反证法的定义及证题的关键思考1：反证法的实质是什么？[提示]反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．思考2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理，这种说法对吗？为什么？[提示]反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．[基础自测]1．思考辨析(1)反证法属于间接证明问题的方法．(　　)(2)反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题．(　　)(3)反

2、证法的实质是否定结论导出矛盾．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√2．“abC．a＝bD．a＝b或a>b[答案]　D3．用反证法证明“如果a＞b，那么>”，假设的内容应是________．[答案]　≤4．应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列选项中可以作为条件使用的有________．(填序号)①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．①②③　[反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行

3、正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．][合作探究·攻重难]用反证法证明否定性命题　已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列．求证：，，不成等差数列.【导学号：48662083】[证明]　假设，，成等差数列，则＋＝2，即a＋c＋2＝4b.∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4，∴(－)2＝0，即＝.从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故，，不成等差数列．[规律方法]　1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适

4、合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤[跟踪训练]1．设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．[证明]　假设AC⊥平面SOB，如图∵直线SO在平面SOB内，∴SO⊥AC.∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB.∴SO⊥平面SAB.∴平面SAB∥底面圆O.这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．用反证法证明唯一性命题　求证方程2x＝3有且只有一个根.【导学号：48662084】[证明]　∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：假设方程2x＝3至少有两个根

5、b1，b2(b1≠b2)，则2b1＝3,2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1.若b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．若b1－b2<0，则2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾．∴b1－b2＝0，则b1＝b2.∴假设不成立，从而原命题得证．[规律方法]　巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明.(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一

6、一驳倒，才能推断结论成立.(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.[跟踪训练]2．求证：两条相交直线有且只有一个交点．[证明]　假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点．若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．用反证法证明“至多”“至少”问题[探究问题]1．你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的含义吗？提示：量词含义至少有一个有n个，

7、其中n≥1至多有一个有0或1个至少有n个大于等于n个2.在反证法证明中，你能说出“至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的反设词吗？提示：量词反设词至少有一个一个也没有至多有一个至少有两个至少有n个至多有n－1个　已知a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．[证明]　假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：⇒这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．母题探