《效用理论与保险》PPT课件

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1、§第1章效用理论与保险1.1引言例：我们有这样的二种选择：A：0.1%的机会得到10000元钱，99.9%的机会什么也得不到。B：100%的机会得到10元。选择A？或B？喜好风险例：我们有这样的二种选择：A：0.1%的失去得到10000元钱，99.9%的机会不损失。B：100%的机会夫去10元。选择A？或B？厌恶风险例：我们有这样的二种选择：A：0.1%的失去得到10000元钱，99.9%的机会不损失。B：100%的机会夫去20元。选择A？或B？1.2期望效用模型假设一个个体面临损失额为B，发生概率0.01的风险，他可以将损失进行投保，并愿意为这份保单支付保费P，B和P之间有何种

2、关系？如果B非常小，那么P几乎不会大于0.01B；如果B略微大一点，如500，那么P就可能比5稍大一些；如果B非常大，那么P就会比0.01B大很多。因为这么大的损失一但发生可以导致破产。结论：可以付出比期望值高的费用为风险投保。为比较X和Y，效用函数与其线性变换是等价的，即无论选择哪个效用函数会得出相同的决策。当且仅当与是等价的。效用函数的确定效用函数是存在的。但很难给出一个明确的解析式。可以向决策都提出大量的问题，通过他对这些问题的回答来决定该决策都的效用函数。如“为了避免以概率q损失1个单位货币，你愿意支付多少保费这P？”当b=1时，他选择A；当b=4时，他选择B；当b=2时

3、，两者等价．这既不是凸函数也不是凹函数。有重大的决策时，决策者往往在风险厌恶者。被保险人是风险厌恶者。风险厌恶者的效用函数的特点：定理1.2.3(Jensen不等式）如果是一个凸函数，Y是一个随机变量，则其中等号成立当且仅当在Y的支撑集上是线性的或Var(Y)=0，由此不等式可以得到，对于一个凹的效用函数，有被保险人方面：保险人方面：买卖成功！实际风险是中性的，即对于任意的风险X，有期望保费EX就够了。由大数定律可知：在后面式子的两边同时取期望，得到因此，风险X的最大保费　　近似为于是风险X的最大保费　　近似为注意到　　用　　　　替换时，　　并没有改变．从（1.18)，我们可以看

4、到风险厌恶系数真正反映了风险厌恶的程度：对风险厌恶程度越高，准备支付的保费也越大．１.３效用函数族-例1.3.1（指数保费）假设一保险人使用参数为的指数效用函数，对于风险X，最小保费应为多少？Pa把代入均衡方程（1.11）得其中是X的矩母函数．假设损失X服从分布，其中表示参数为的指数分布．令＝0.01，则EX=100．如果被保险人的效用函数是参数为的指数效用函数，因此被保险人愿意在纯保费之上附加相当数量的额外保费．138.6>100由例1.2.4中近似式(1.18)得显然，近似表达式(1.22)随递增，如果X是方差有限的非负随机变量，则(1.20)所决定的保费也是递增的，具体证明

5、如下。令由Jensen不等式知取则且对任意有由方程(1.10)．发生损失X之后的期望效用为以及支付保费P之后的效用为近似的最大保费：例1.3.3（不可保的风险）某决策者使用风险厌恶系数为的指数效用函数，他想对分布为的风险进行投保，其中表示参数为a,b的伽玛分布．确定并证明，何时此时说明了什么？因为,我们有.因而所以，计算出的保费大于纯保费．如果，则，这表明决策者愿意支付任何有限的保费．按照效用理论，如果风险厌恶系数为.那么承保该风险的保险人对于任何有限的保费P，都会遭受损失，因为．对于这些保险人来说，这种风险是不可保的．1.4停止损失再保险的最优性再保险合同通常只承保保险人的一部

6、分风险．停止损失(再）保险承保损失超出指定免赔额的超额部分．它的定义如下：如果发生的损失为X(我们假设).则理赔支付为对于停止损失保险合同，其纯保费称为停止损失保费，记为在离散情形，为阶梯函数，其在x处的跳为；在连续情形，有导函数两种情形下的停止损失保费都可由下式给出为什么？定理1.4.l（停止损失再保险的最优性）用记当损失为时，某再保险合同约定的理赔支付．假设对于任意成立,则证明因为，所以只需证明上式成立的一个充分条件是以概率1成立．当时，．显然成立；当时,我们有，有停止损失保费不仅使自留风险的方差达到最小，而且还使被保险人的期望效用达到最大。例1.4.2（比例再保险的最优性）

7、假设保险人收取保费,正寻求最有利的再保险满足，且自留风险的方差给定如下：我们必须使再保险公司的期望利润达到最小问题B容易解决一些