《2.1.2 曲线的参数方程》导学案2

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1、《2.1.2曲线的参数方程》导学案2学习目标1.理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程．2.通过常见曲线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义.知识梳理1．参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数反过来，对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程叫做曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数．2．求参数方程的一般步骤(1)建立直角坐标系，设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)；(2)选取适当的参数；(3)根据已知条件、图形的几何性

2、质、物理意义等，建立点M的坐标与参数的函数关系式；(4)证明所求得的参数方程就是所求曲线的方程(通常省略不写)．思考探究1．从参数方程的概念来看，参数t的作用是什么？什么样的量可以当参数？【提示】　参数t是联系变数x，y的桥梁；可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．在选择参数时，要注意什么？【提示】　在选择参数时，要注意以下几点：①参数与动点坐标x，y有函数关系，且x，y便于用参数表示；②选择的参数要便于使问题中的条件明析化；③对于所选定的参数，要注意其取值范围，并能确定参数对x，y取值范围的制约；④若求轨迹，应尽

3、量使所得的参数方程便于消参．学习过程例题精解例题1　已知曲线C的参数方程是x＝3t，y＝2t2＋1(t为参数)．(1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值．【自主解答】　(1)把点M1(0,1)代入，得0＝3t，1＝2t2＋1，解得t＝0，故点M1在曲线C上，把点M2(5,4)代入，得5＝3t，4＝2t2＋1，这个方程组无解，因此点M2(5,4)不在曲线C上，(2)因为点M3(6，a)在曲线C上，所以6＝3t，a＝2t2＋1，解得t＝2，a＝9，故a＝9.例题2如图4－4－1，△ABP

4、是等腰直角三角形，∠B是直角，腰长为a，顶点B、A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程．图4－4－1【自主解答】　法一　设P点的坐标为(x，y)，过P点作x轴的垂线交x轴于Q.如图所示，则Rt△OAB≌Rt△QBP.取OB＝t，t为参数(0＜t＜a)．∵OA＝，∴BQ＝.∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为(0＜t＜a)．法二　设点P的坐标为(x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示．取∠QBP＝θ，θ为参数(0＜θ＜)，则∠ABO＝－θ.在Rt△OAB中，OB＝acos(－θ)＝asinθ.在Rt△QBP中，BQ＝aco

5、sθ，PQ＝asinθ.∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为(θ为参数，0＜θ＜)．课堂作业1．已知曲线(θ为参数，0≤θ＜2π)．下列各点A(1,3)，B(2,2)，C(－3,5)，其中在曲线上的点是________．【解析】　将A点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B、C点坐标代入方程，方程无解，故A点在曲线上．【答案】　A(1,3)2．椭圆的焦点坐标为________．【解析】　把椭圆方程化为普通方程，得＋＝1.则a2＝25，b2＝16，所以c2＝9.椭圆的焦点为(－3,0)和(3,0)．【答案】　(－3,0)和(3,0)3．椭圆＋y2＝1的一个参数

6、方程为______．【解析】　设＝cosθ，y＝sinθ，所以椭圆的一个参数方程为(θ为参数)．【答案】　4．参数方程(θ为参数)表示的曲线是________．【答案】　线段课后检测图4－4－21．如图4－4－2，OB是机器上的曲柄，长是r，绕点O转动，AB是连杆，M是AB上一点，MA＝a，MB＝b(2r＜a＋b)．当点A在Ox上做往返运动，点B绕着O做圆周运动时，求点M的轨迹方程．【解】　如题图，设点M(x，y)，θ＝∠BAO，由点B作BC⊥Ox，交Ox于点C，由点M作MD⊥Ox，交Ox于点D，由点M作ME⊥BC，交BC于点E，那么y＝DM＝asi

7、nθ，x＝OD＝OC＋CD＝OC＋EM＝±＋EM＝±＋bcosθ，得到点M(x，y)的坐标满足方程组即为点M的轨迹方程．2．动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向上的分速度分别为9m/s和12m/s，运动开始时，点M位于A(1,1)，求点M的轨迹方程．【解】　设ts后点M的坐标为(x，y)，则所以点M的轨迹方程为(t≥0)．3．以椭圆＋y2＝1的长轴的左端点A与椭圆上任意一点连线的斜率k为参数，将椭圆方程化为参数方程．【解】　椭圆＋y2＝1的长轴的左端点A的坐标为(－2,0)．设P(x，y)为椭圆上任意一点(除点A)，则点P的坐标满足将＝k代入＋y

8、2＝1，消去x，得(＋4)y2－y＝0.解得y＝0，或y＝.由y＝，解得x＝；由y＝0，解得x＝2.由于(2