3.3函数的和、差、积、商的导数（一） (2)

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1、3.3函数的和、差、积、商的导数(一)yyyy年M月d日星期1.导数的定义：复习回顾2.求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤：3.几种常见函数的导数：（一）两个函数的和与差的导数：法则1两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即其中u和v都是关于x的函数，并且都是可导的.证明：y=f(x)=u(x)±v(x),新课教学例1求y=x3+sinx的导数.例2求y=x4–x2–x+3的导数.解：y′=(x3+sinx)′=(x3)′+(sinx)′=3x2+cosx解：y′=(x4－x2－x+3)′=(x4)′－(x2)′

2、－x′+3′=4x3－2x－1，（二）两个函数的积的导数：法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即证明：y=f(x)=u(x)v(x),因为v(x)在点x处可导，于是当x0时，v(x+x)v(x).所以v(x)在点x处连续.解：解：例5y=3x2+xcosx，求导数y′.解：y′=(3x2+xcosx)′=(3x2)′+(xcosx)′=3·2x+x′cosx+x(cosx)′=6x+cosx+xsinx例6y=5x10sinx－2cosx－9，求y′.解：y′=(5x10

3、sinx－2cosx－9)′=(50x9+2)sinx+(5x10－)cosx=5(x10)′sinx+5x10(sinx)′－［2()′·cosx+2(cosx)′］－0=(5x10sinx)′－(2cosx)′－9′=5·10x9sinx+5x10cosx－(·cosx－2sinx)=50x9sinx+5x10cosx－cosx+2sinx推广上述公式可以推广到个函数的情况：（f1+f2+…+fn)′=f1′+f2′+…+fn′（f1f2…fn)′=f1′f2…fn+f1f2′f3…fn+…+f1f2…fn-1fn′例7*已知fn(x)=

4、.则解：∵令x=0,得例7*已知fn(x)=.则1.求函数的导数.(1)y=2x3+3x2－5x+4(2)y=sinx－x+1(3)y=(3x2+1)(2－x)(4)y=(1+x2)cosx练习解：（1）(2x3+3x2-5x+4)′=(2x3)′+(3x2)′-(5x)′+4′=2·3x2+3·2x-5=6x2+6x-5（2）y′=(sinx－x+1)′=(sinx)′－x′+1′=cosx－1（3）y′=［(3x2+1)(2－x)］′=(3x2+1)′(2－x)+(3x2+1)(2－x)′=3·2x(2－x)+(3x2+1)(－1)=－9

5、x2+12x－1（4）y′=［(1+x2)cosx］′=(1+x2)′cosx+(1+x2)(cosx)′=2xcosx+(1+x2)(－sinx)=2xcosx－(1+x2)sinx2.填空：(1)［(3x2+1)(4x2－3)］′=()(4x2－3)+(3x2+1)()(2)(x3sinx)′=()x2sinx+x3()6x8x3cosx3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.［(3+x2)(2－x3)］′=2x(2－x3)+3x2·(3+x2)解：不正确.［(3+x)2(2－x3)］′=(3+x2)′(2－x3)＋(3＋x2)(

6、2－x3)′=2x(2－x3)+(3+x2)(－3x2)=2x(2－x3)－3x2(3+x2)由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数。求导法则求导法则可以推广到有限个函数的情况。小结两个可导函数的和、差、积一定可导；两个不可导函数和、差、积不一定不可导．