弹性力学基本理论

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1、第一章弹性力学基本理论本章主要介绍弹性力学的基本理论，主要包括：线弹性问题的几个假设；应力、应变的定义和性质；应力平衡方程、几何方程和物理方程等弹性力学基本方程的推导。这些是进行机械结构有限元分析的重要力学理论基础。要求:学习并掌握应力、应变基本概念和主要性质，掌握弹性力学基本方程、应力边界条件、协调方程等。本章概述11.1引言弹性力学（ElasticTheory）作为一门基础技术科学，是近代工程领域的必要基础之一。在现代工程结构分析，特别是航空、航天、机械、土建和水利工程等设计中，广泛应用弹性力学的基本公式和结论。21.1引言弹性力学的研究方法决定了它

2、是一门基础理论课程，把弹性力学的理论直接用于分析工程问题具有很大的困难。原因主要在于它的基本方程——偏微分方程边值问题求解困难。由于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发展中的一个特色。近似求解方法，如差分法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而不断发展的有限单元法，为弹性力学的发展和解决工程实际问题开辟了广阔的前景。31.1引言弹性力学与材料力学的区别材料力学弹性力学研究对象几何形状杆状构件杆、板、壳、块、三维体描数方程常微分方程偏微分方程求解难易程度容易困难适用范围窄宽41.1引言五个基本假设——理想弹性体（1）连续性假定

3、。也就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何空隙。保证物体内一些物理量（应力、应变、位移等）的连续性，从而可以用坐标的连续函数来描述。（2）完全弹性假定。这是假定物体服从胡克定律，即应变与引起该应变的应力成正比。保证物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关。51.1引言五个基本假设——理想弹性体（3）均匀性假定。假定整个物体由同一材料组成。保证整个物体的所有各部分具有相同的弹性，因而物体的弹性常数才不会随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得的结

4、果应用于整个物体。（4）各向同性假定。假定物体的弹性在所有各方向上都相同。（5）小位移和小变形的假定。假定物体受力以后，物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都小于1。保证在建立变形体的平衡方程时，可以用物体变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致引起显著的误差，在考察物体的变形及位移时，对于转角和应变的二次幂或其乘积都可以略去不计。61.1.1外力与内力（1）外力作用于物体的外力通常可分为两类：面力(SurfaceForce)体力(BodyForce)71.1.1外力与内力面力是指分布在物体表面上的外力，包括分布力(Distribu

5、tedForce)和集中力(ConcentratedForce)，如压力容器所受到的内压、水坝所受的静水压力、物体和物体之间的接触压力等等。通常情况下，面力是物体表面各点的位置坐标的函数。在物体表面P点处取一微小面积S，假设其上作用有表面力F，则P点所受的表面力定义为（1.1）（1.2）通常用各坐标方向上的分量来表示面力，即81.1.1外力与内力体力(BodyForce)一般是指分布在物体体积内的外力，作用于弹性体内每一个体积单元。通常与物体的质量成正比、且是各质点位置的函数，如重力、惯性力、磁场力等。作用在物体内P点上的体力，可按面力定义方式进行定

6、义，即在P点处取一微小体积V，假定其上作用有体力R，则P点所受的体力可定义为一般也是用各坐标方向上的分量来表示体力，即（1.3）（1.4）91.1.1外力与内力物体在外力作用下，其内部将产生抵抗变形的“附加”内力。若假想用一经过物体内P点的截面mn将物体分为两部分A和B，移去其中的一部分B。显然，在截面mn上必定有某种力存在使A平衡，这种力就称为内力，实际上也就是物体内部的相互作用力。（2）内力图1-1物体内任意点处的应力101.1.2应力的概念所谓一点处某个截面上的应力(Stress)就是指该截面上的“附加内力”，即应力是内力在该点处的集度。如图1

7、-1所示，在截面mn上P点处取一微小面积A，假设作用于A上的内力为G，则图1-1物体内任意点处的应力（1.5）T就是P点处的应力。通常将应力沿截面A的法向和切向进行分解，相应的分量就是常用的正应力和剪应力。它们满足（1.6）111.1.2应力的概念在物体内的同一点处，不同方向截面上的应力是不同的。只有同时给出过该点截面的外法向方向，才能确定物体内该点处此截面上应力的大小和方向，才能表示这一点的应力状态。图1-2微小正方体元素的应力状态如图1-2所示，正方体各面上的应力可按坐标轴方向分解为一个正应力和两个剪应力，即每个面上的应力都用三个应力分量来表

8、示。这样，用9个应力分量来表示正方体各面上的应力，即（1.7）其中，σ为正应力，