《型曲面积分》PPT课件

《《型曲面积分》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、六、全微分方程解法2（偏积分法）解法3（凑微分法）积分因子例2求方程ydx-xdy=0的积分因子并求其通解因为解若存在一函数(xy)((xy)0)使方程(xy)P(xy)dx(xy)Q(xy)dy0是全微分方程则函数(xy)叫做方程P(xy)dxQ(xy)dy0的积分因子因为故所给方程的通解为例3求方程(1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0的积分因子并求其通解解积分得通解将方程的各项重新合并得(ydxxdy)xy(ydxxdy)0,再把它

2、改写成用积分因子乘以方程方变为一阶线性方程的积分因子可以验证是一阶线性方程yP(x)yQ(x)的一个积分因子在一阶线性方程的两边乘以(x)得两边积分便得通解解方程的积分因子为因此方程的通解为第三节第二类曲面积分---------向量值函数在定向曲面上的积分一、基本概念二、概念的引入三、定义及性质四、两类曲面积分之间的联系五、计算法一、基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧1.曲面的分类:(1)双侧曲面;(2)单侧曲面.典型双侧曲面动点在

3、双侧曲面上连续移动(不跨越曲面的边界)并返回到起始点时,其法向量的指向不变.莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带上侧下侧规定：定向曲面上任一点处的法向量总是指向曲面取定的一侧.注：在定向曲面的范围里，其方向用法向量指向表示:方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧•设为有向曲面,侧的规定指定了侧的曲面叫有向曲面,其面元在xOy面上的投影记为的面积为则规定类似可规定流向曲面一侧的流量.流量实例(斜柱体体积)(1)流速场为常向量有向平面区域,求单位时间流过的流

4、体的质量(假定密度为1).二、概念引入分析:若是面积为S的平面,则流量单位法向量:流速为常向量:(2)设稳定流动的不可压缩流体给出,函数流体的密度与速度均不随时间而变化(假定密度为1)的速度场由当不是常量,曲面求在单位时间内流向指定侧的流体的质量是速度场中的一片有向曲面,分割则该点流速为，法向量为求和取近似该点处曲面Σ的单位法向量通过Σ流向指定侧的流量对一般的有向曲面,用“分割、求和、取极限”对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得,则三、第二类曲面积分的定义及性质则称此极限为函数在有向曲面Σ上

5、对坐标的曲面积分（也称第二类曲面积分）被积函数积分曲面类似可定义存在条件:组合形式:物理意义:表示流向Σ指定的流量若记正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式三、第二型曲面积分的性质四、计算法（第二类曲面积分----化为二重积分）定理:设光滑曲面取上侧,是上的连续函数,则证:∵取上侧,•若则有•若则有(前正后负)(右正左负)说明:如果积分曲面取下侧,则注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.解：一投,二代,三定号一投,二代,三定号四、两类曲面积分的联系曲面的方向用法向量的

6、方向余弦刻画令向量形式(A在n上的投影)称为有向曲面元,例1.计算曲面积分其中解:利用两类曲面积分的联系,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.由对称性例其中Σ解法一直接用对坐标的曲面积分计算法.且其投影区域分别为由于Σ取上侧,在第一卦限部分的上侧.面的投影都是正的,取上侧法二利用两类曲面积分的联系计算.Σ取上侧,锐角.则法向量n与z轴正向的夹角为定义:1.两类曲面积分及其联系小结性质:联系:2.常用计算公式及方法面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入

7、曲面方程(方程不同时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(3)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化当时，（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在yoz面及zox面上的二重积分转化公式.思考题此时的左侧为负侧，而的左侧为正侧.答：其中Σ是所围成的正方体的表面的Σ2Σ4Σ5Σ6Σ3先计算由于平面都是母线平行于x轴的柱面,则在其上对坐标y,z的积分为0.解三个坐标面与平面外侧.Σ1练习1：x=a面在yOz面上的投影为正,而x=0面在yOz

8、面上的投影为负.投影域均为:0≤y≤a,0≤z≤a,故由x,y,z的对等性知,所求曲面积分为3a4.后两个积分值也等于a4.Σ2Σ4Σ5Σ6Σ3Σ1若分片光滑的闭曲面Σ0其中注补充x的偶函数x的奇函数曲面Σ不封闭也可以.取外侧(内侧仍成立),那末关于yOz平面对称,练习3：其中Σ:解关于yOz面对称,被积函数关于x为偶函数.下侧.关于zOx面对称,被积函数关于y为偶函数.原式=解求而练习4：求是非题是以原点为中心的球面.由对称性知练习5：思