Cauchy积分公式和高阶导数公式

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1、§3-3Cauchy积分公式和高阶导数公式一、解析函数的Cauchy积分公式二、解析函数的高阶导数定理三Δ、解析函数的实部和虚部与调和函数11.问题的提出根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线C的变化而改变,求这个值.232.Cauchy积分公式Cauchy积分公式4证明：以为心作一完全包含于内的圆盘，并且记其边界为圆。在上，挖去圆盘，余下的点集是一个闭区域。在上函数解析，由柯西定理有：在这里沿的纠纷是按照区域的正向取的，沿的积分是按正向取的，即逆时针方向。以下我们证明：5记由柯西定理知：是个不依赖于的常数，从而我们证明由于和在z0是连续性，所以对于任意的，可以找到6使得当，时，有从而当从而

2、故于是证得称为积分基本公式或柯西积分公式．D7定理1对于由条围线所围成的复连通区域仍然有效．（如教材66页定理1那样构成）定理1从揭示解析函数的性质、表示解析函数及提供计算积分的方法等三方面给我们以启示．定理1为我们提供了计算如（*）式左端的积分的方法这类积分的特征是：积分路径是围线，被积函数为一分式，它在积分路径内部只含一个奇点，且该奇点是使分母为零的点，而在积分路径上无被积函数的奇点．（*）8例1解由Cauchy积分公式9例2解由Cauchy积分公式10关于Cauchy积分公式的说明:把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.（这是解析函数的一个重要特征）(2)公式不但提供了计算某

3、些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)11例　计算积分               ．解首先，识别积分的类型．它是具有（*）式左端积分的特征的那类积分．其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较后，知道所求积分在形式上与（*）式左端的积分相同．由此想到利用（*）式计算积分．最后，经验证，所求积分满足定理1的条件，于是，由（*）式得12解首先，识别积分类型．它是具有（*）式左端积分的特征的那类积分．其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较，在形式上是不一样的．但是，如果将它变形为例　计算积分               ．那么，在形式上

4、与（*）式左端的积分一样．由此想到利用（*）式计算．最后，经验证，所求积分满足定理4.5的条件，于是，由（*）式得13例　计算积分被积函数在积分路径内部含有两个奇点与作，有计算上式右端两个积分故14观察下列等式问题：解析函数的导函数一定为解析函数？若是，则其导函数可否用一公式来表示呢？15亦即抽象后有上式是必然的吗？下面的定理给予了回答．16高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.二、解析函数的高阶导数定理17证利用数学归纳法证明该定理．⑴设      ，证上式成立，即证(1)欲证(1)式，只须证为此，设C的长度为  ，      在C上满足            

5、 ，令由定理有18于是由此有故即19⑵设       时，题设式子成立，证           时，题设式子成立，即证20假设（3-3-3）当时成立。设以为心，以为半径的圆盘完全包含在内，并且在这圆盘内取使得，那么当时，21那么22由此可以证明：当，的右边趋于零。于是（3-3-3）当时成立。证毕。由⑴与⑵证得定理．23定理2对于由条围线所围成的复连通区域仍然有效．（如教材68页定理2那样构成）定理2从揭示解析函数的性质、解析函数的导函数及提供计算积分的方法等三方面给我们以启示．定理2为我们提供了计算如（*）式左端的积分的方法（*）这类积分的特征是：积分路径是围线，被积函数为一分式，它在积分路

6、径内部只含一个奇点，且该奇点是使分母为零的点，而在积分路径上无被积函数的奇点．24推论：若函数在点解析，则存在点的一个邻域，使得在该邻域内有任意阶导数，其各阶导数也解析；并且在该邻域内函数和的各阶偏导数不仅存在而且都连续。证明：由函数在点解析知：可作一圆盘使得在该闭圆盘上解析。于是对该圆盘应用定理2。25例　计算积分解：由高阶导数公式26解首先，识别积分的类型．它是具有（*）式左端积分的特征的那类积分．其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较后，知道所求积分在形式上与（*）式左端的积分相同．由此想到用（*）式计算积分．最后，经验证，所求积分满足定理2的条件，由（*）式得例　计算积分27例2（

7、1）（2）解（1）函数的奇点在圆的内部，而其它的两个奇点在左半平面，从而在该圆的外部。于是函数在闭圆盘上解析，由定理2可得：（2）同理其中在闭圆盘上解析，因此28例3解29304.典型例题例4解由Cauchy积分公式31例5解根据Cauchy积分公式知,32例6解33例6解34由复合闭路定理,得例6解35例7解36根据复合闭路原理37于是38例8解由Cauchy积分定理得由Cauchy积分公式得3940例4解