《1.绝对值三角不等式》课件5

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1、1．绝对值三角不等式绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则

2、a＋b

3、≤

4、a

5、＋

6、b

7、，当且仅当时，等号成立．几何解释：用向量a，b分别替换a，b.①当a与b不共线时，有

8、a＋b

9、<

10、a

11、＋

12、b

13、，其几何意义为：．②若a，b共线，当a与b时，

14、a＋b

15、＝

16、a

17、＋

18、b

19、，当a与b时，

20、a＋b

21、<

22、a

23、＋

24、b

25、.由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．③定理1的推广：如果a，b是实数，则

26、

27、a

28、－

29、b

30、

31、≤

32、a±b

33、≤

34、a

35、＋

36、b

37、.ab≥0三角形的两边之和大于第三

38、边同向反向(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么

39、a－c

40、≤

41、a－b

42、＋

43、b－c

44、.当且仅当时，等号成立．几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，

45、a－c

46、

47、a－b

48、＋

49、b－c

50、.当点B不在点A，C之间时：①点B在A或C上时，

51、a－c

52、

53、a－b

54、＋

55、b－c

56、；②点B不在A，C上时，

57、a－c

58、

59、a－b

60、＋

61、b－c

62、.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．(a－b)(b－c)≥0＝＝<含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可

63、通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式

64、

65、a

66、－

67、b

68、

69、

70、a±b

71、≤

72、a

73、＋

74、b

75、，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．1．设a、b是满足ab<0的实数，则下列不等式中正确的是()A．

76、a＋b

77、>

78、a－b

79、B．

80、a＋b

81、<

82、a－b

83、C．

84、a－b

85、<

86、

87、a

88、－

89、b

90、

91、D．

92、a－b

93、<

94、a

95、＋

96、b

97、解析：∵ab<0且

98、a－b

99、2＝a2＋b2－

100、2ab，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<

101、a－b

102、2.∴(

103、a

104、＋

105、b

106、)2＝a2＋b2＋2

107、ab

108、＝

109、a－b

110、2.故A、D不正确．B正确；又由定理1的推广知C不正确．答案：B[例2](1)求函数y＝

111、x－3

112、－

113、x＋1

114、的最大值和最小值．(2)设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)．若

115、a

116、≤1，求

117、f(x)

118、的最大值．[思路点拨]利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．[解](1)法一：

119、

120、x－3

121、－

122、x＋1

123、

124、≤

125、(x－3)－(x＋1)

126、＝4，∴－4≤

127、x－3

128、－

129、x＋

130、1

131、≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．3．若a，b∈R，且

132、a

133、≤3，

134、b

135、≤2则

136、a＋b

137、的最大值是________，最小值是________．解析：

138、a

139、－

140、b

141、≤

142、a＋b

143、≤

144、a

145、＋

146、b

147、，∴1＝3－2≤

148、a＋b

149、≤3＋2＝5.答案：514．求函数f(x)＝

150、x－1

151、＋

152、x＋1

153、的最小值．解：∵

154、x－1

155、＋

156、x＋1

157、＝

158、1－x

159、＋

160、x＋1

161、≥

162、1

163、－x＋x＋1

164、＝2，当且仅当(1－x)(1＋x)≥0，即－1≤x≤1时取等号．∴当－1≤x≤1时，函数f(x)＝

165、x－1

166、＋

167、x＋1

168、取得最小值2.5．若对任意实数，不等式

169、x＋1

170、－

171、x－2

172、>a恒成立，求a的取值范围．解：a<

173、x＋1

174、－

175、x－2

176、对任意实数恒成立，∴a<[

177、x＋1

178、－

179、x－2

180、]min.∵

181、

182、x＋1

183、－

184、x－2

185、

186、≤

187、(x＋1)－(x－2)

188、＝3，∴－3≤

189、x＋1

190、－

191、x－2

192、≤3.∴[

193、x＋1

194、－

195、x－2

196、]min＝－3.∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．