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1、--二项式定理1．二项式定理：(ab)nCn0anCn1an1bCnranrbrCnnbn(nN)，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做n(ab)的二项展开式。②二项式系数:展开式中各项的系数Cnr(r0,1,2,,n).③项数：共(r1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第r1项Cnranrbr叫做二项式展开式的通项。用Tr1Cnranrbr表示。3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(n1)项。②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(ab)n与(ba)n是不同的。③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n
2、.④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn0,Cn1,Cn2,,Cnr,,Cnn.项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。4．常用的结论：令a1,bx,(1n01x22rrxnnn)Nx)CnCnCnxnCnC(x令a1,bx,(1n01x22rCrxnnnx(nN)x)CCCx(1)Cnnnnn5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn0Cnn，···CnkCnk1②二项式系数和：令ab1,则二项式系数的和为Cn0Cn1Cn2CnrCnn2n，----变形式Cn1Cn2CnrCnn2n1。③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系
3、数和：在二项式定理中，令a1,b1，则Cn0Cn1Cn2Cn3(1)nCnn(11)n0，从而得到：Cn0Cn2Cn4Cn2rCn1Cn3Cn2r112n2n12④奇数项的系数和与偶数项的系数和：----1----(ax)nCn0anx0Cn1an1xCn2an2x2Cnna0xna0a1x1a2x2anxn(xa)nCn0a0xnCn1axn1Cn2a2xn2Cnnanx0anxna2x2a1x1a0令x1,则a0a1a2a3an(a1)n①令x1,则a0a1a2a3an(a1)n②①②得,a0a2a4an(a1)n(a1)n(奇数项的系数和)2①②得,a1a3a5an(a1)n(a1)n
4、(偶数项的系数和)2n⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数Cn2取得最大值。如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数n1n1Cn2,Cn2同时取得最大值。⑥系数的最大项：求(abx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为A1,A2,,An1，设第rAr1Arr来。1项系数最大，应有Ar，从而解出Ar12--------2----题型一：二项式定理的逆用；例：Cn1Cn26Cn362Cnn6n1.解：(16)nCn0Cn16Cn262Cn363Cnn6n与已知的有一些差距，Cn1Cn26Cn362Cnn6n11(Cn1
5、6Cn262Cnn6n)1(Cn061[(11(7nCn16Cn262Cnn6n1)6)n1]1)666练：Cn13Cn29Cn33n1Cnn.解：设SC13C29C33n1Cn，则nnnnn3SnCn13Cn232Cn333Cnn3nCn0Cn13Cn232Cn333Cnn3n1(13)n1Sn(13)n14n133题型二：利用通项公式求xn的系数；例：在二项式(413x2)n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？x解：由条件知Cnn245，即Cn245，n2n900，解得n9(舍去)或n10，由Tr1C10r(x12C10rx10r210r2r3,解得r6，4)10r(
6、x3)r43，由题意r43则含有x3的项是第7项T61C106x3210x3,系数为210。练：求(x21)9展开式中x9的系数？2x1)rC9rx182r(1)rxr1)rx183r，令183r解：Tr1C9r(x2)9r(C9r(9,则2x22r3故x9的系数为C931)3。----(2122----3----题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式(x21)10的展开式中的常数项？2xr210r1rr1r205r，令2058，所以解：2Tr1C10(x)(2x)C10(2)xr0，得r2T9C108(1)8452256练：求二项式(2x1)6的展开式中的常数项？2x解：Tr1C6r(
7、2x)6r(1)r(1)r(1)rC6r26r(1)rx62r，令62r0，得r3，所以2x2T4(1)3C6320练：若(x21)n的二项展开式中第5项为常数项，则n____.x解：T5Cn4(x2)n4(1)4Cn4x2n12，令2n120，得n6.x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式(x3x)9展开式中的有理项？1127r27r解：Tr1C9r(x2)9r(x3)r(1)rC9rx
