二项式定理-讲义

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1、二项式定理1．二项式定理：，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。②二项式系数:展开式中各项的系数.③项数：共项，是关于与的齐次多项式④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。3．注意关键点：①项数：展开式中总共有项。②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于.④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。4．常用的结论：令令5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，

2、···②二项式系数和：令,则二项式系数的和为，变形式。③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令，则，从而得到：④奇数项的系数和与偶数项的系数和：11⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。11题型一：二项式定理的逆用；例：解：与已知的有一些差距，练：解：设，则题型二：利用通项公式求的系数；例：在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求

3、含有的项的系数？解：由条件知，即，，解得，由，由题意，则含有的项是第项,系数为。练：求展开式中的系数？解：，令,则故的系数为。11题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式的展开式中的常数项？解：，令，得，所以练：求二项式的展开式中的常数项？解：，令，得，所以练：若的二项展开式中第项为常数项，则解：，令，得.题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式展开式中的有理项？解：，令,()得，所以当时，，，当时，，。题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若展开式中偶数项系数和为，求.解：设展开式中各项系数依次设为,则有①，,则有②将①-②得：11有题意得

4、，，。练：若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项。解：，，解得所以中间两个项分别为，，题型六：最大系数，最大项；例：已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：解出，当时，展开式中二项式系数最大的项是，当时，展开式中二项式系数最大的项是，。练：在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即，也就是第项。练：在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？解：只有第项的二项式最大，则，即,所以展开式中常数项为第七项等于练：写出在的展开式中，系数最大的

5、项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数是奇数，所以中间两项()的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有的系数最小，系数最大。11练：若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？解：由解出,假设项最大，，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为,有练：在的展开式中系数最大的项是多少？解：假设项最大，，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为题型七：含有三项变两项；例：求当的展开式中的一次项的系数？解法①：，，当且仅当时，的展开式中才有x的一次项，此时，所以得一次项为它的系数为。解法②：故展开式中含的项为，故展开式中的系数为240.练：求式子的常数项？解：，设第项为

6、常数项，则，得,,11.题型八：两个二项式相乘；例：解：.练：解：.练：解：11题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：解：题型十：赋值法；例：设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若,则等于多少？解：若，有，，令得，又,即解得，.练：若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？解：令，则的展开式中各项系数之和为，所以，则展开式的常数项为.练：11解：练：解：题型十一：整除性；例：证明：能被64整除证：由于各项均能被64整除111.在的二项展开式中，的系数为________2.的展开式的常数项是________3.的展开式中的系数是________

7、4.的展开式中常数项为________5的展开式中的系数为_________6.的展开式中的系数等于8，则实数__________7．在的二项展开式中，常数项等于.8.(-)6的二项展开式中的常数项为________.9.展开式中的系数为10，则实数的值为．10.若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为____.11.在的展开式中，含的项的系数是____12.在的展开式中，的系数等于____1113.在的展开式中，的系数等于____14.的展开式中常数项为____15