f-博弈论专题-4-1混合纳什均衡

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1、博弈论专题4-1混合纳什均衡一、混合策略二、混合策略纳什均衡三、应用分析一、混合策略“对硬币”博弈的例子两个参与人各握有一枚硬币，双方同时选择是正面向上(记作O)还是背面向上(记作R)，即他们的策略空间都是{O,R}。若两枚硬币是一致的(即全部背面向上或者全部正面向上)，参与人2赢得参与人1的硬币；若两枚硬币不一致，则参与人1赢得参与人2的硬币。博弈矩阵对硬币博弈的特征：每位参与人都想猜透对方的策略，而每位参与人又都不能让对方猜透自己的策略在“对硬币”游戏中，我们会以50%的概率选择正面(O)，以50%的概率选择反面(R)。

2、像这种以一定的概率分布来选择自己策略的行为，在博弈论中称之为混合策略(mixedstrategy)。纯策略与混合策略纯策略：参与人在给定信息下只选择一种特定策略(或行动)。混合策略：参与人给定信息下以某种概率分布随机地选择不同的行动。它可以定义为策略空间(集)上概率分布。对比：智猪博弈与猜硬币博弈例：点球射门攻方的策略是：攻左边，或攻右边守方的策略是：守左边，或守右边（以守方的方向为准）守左边右边攻左边-1，11，-1右边1，-1-1，1（3）石头、剪子、布例：石头、剪子、布再看猎鹿博弈风险与均衡某种行动的概率与期望收益：猎

3、鹿？猎兔？如果猎兔的概率是0.5时，均衡是什么？0.6呢？5，53，00，33，3鹿兔子猎人2鹿兔子猎人1猎鹿博弈风险上策均衡（兔子，兔子）二、混合战略Nash均衡问题：在“猜硬币”游戏中，我们往往会以50%的概率选择正面(O)，以50%的概率选择反面(R)，即选择混合战略σ=(0.5，0.5)。那么有没有参与人会偏离混合战略σi=(0.5，0.5)呢？在“猜硬币”博弈中，当双方都选择混合战略σi=(0.5，0.5)时，双方的期望收益都为0。E(1O)＝-1×0.5＋1×0.5＝0E(1R)＝1×0.5＋-1×0.5＝0如果

4、参与人1保持混合战略σ1=(0.5，0.5)，那么无论参与人2选择其它什么样的混合战略，只要参与人1保持混合战略σ1=(0.5，0.5)不变，参与人2的期望收益都为0，不会增大。也就是说，偏离并不能给参与人2带来好处。同理，偏离也不能给参与人1带来好处。因此，在“猜硬币”博弈中，双方都不会偏离混合战略组合σ=((0.5，0.5),(0.5，0.5))。像这样的混合战略组合我们称之为混合战略Nash均衡。三、混合策略应用分析（一）警察与小偷（二）监督博弈（三）社会福利博弈（一）警察与小偷某镇有一酒馆和商店，分在小镇的东西头，警

5、察不能同时兼顾两个地方。商店价值2万元，酒馆价值1万元。警察在这头时小偷会去另一头行窃，但双方到底在哪边是不确定的。双方的策略应是什么？小偷酒馆商店警察酒馆3，01，2商店2，13，0警察要使损失最小化，小偷寻求收益最大化1、如果警察以0.5的概率分别巡视两个地方，那么小偷的策略是什么？2、警察以2/3及1/3的概率分别巡视商店和酒馆，小偷该如何？3、混合纳什均衡策略是警察：P商店＝2/3，P酒馆＝1/3小偷：相反案例推牌九及赌场每次加倍押赌，会有什么样的结果？喝酒中的老虎、杠子、鸡、虫，有无纯策略？（二）监督博弈税收机关与

6、纳税人雇主与雇员这里，V是雇员的贡献，W是雇员的工资，H是雇员的付出，C是检查的成本。同时，我们假定HC。在这个假设下，该博弈不存在纯战略纳什均衡。求解混合战略纳什均衡得知：雇主检查的概率*=H/W，雇员偷懒的概率*=C/W。求解雇主支付W为多少时，其期望收益最大。l如果雇主能够没收雇员的抵押金F，前述两个问题的答案会发生怎样变化？如何理解这种变化？l根据上述分析，雇主是否会收取抵押金，如何收取？雇员是否愿交抵押金？l两个其它方面完全相同的企业在相互竞争中，一个收取抵押金，一个不收，说更有竞争优势？l从社会

7、福利最大化角度看，作为政府是否应禁止雇主向雇员收取抵押金？为什么？课堂讨论社会福利博弈流浪汉政府找工作游荡救济（3，2）（-1，3）不救济（-1，1）（0，0）课堂测试：求解猎人的混合纳什均衡策略。即，选择两种策略的期望收益无差异的概率。5，53，00，33，3鹿兔子猎人2鹿兔子猎人1猎鹿博弈风险上策均衡（兔子，兔子）