2.1数列的递推公式

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1、数列的表示1.通项公式an=f(n)2.列表3.图象{n2}数列的图象是一系列孤立的点（n，an)n123ana1a2a3关于通项公式通项公式的优点：①简明、全面地概括了项数与项的关系；②可以通过通项公式求出任意项的值.1.不是每一个数列都能写出其通项公式(如数列3）2.数列的通项公式不唯一如：1,1,1,1,…特别说明优点：不需要计算就可以直接看出与项相对应的关系列表法：图象法优点：能直接形象地表示出随着项数的变化，相应项变化的趋势，直观明了.数列的递推公式如果一个数列｛ａｎ｝的首项a１＝１，从第２项

2、起每一项等于它的前一项的２倍再加１，即那么像这样给出数列的方法叫做递推法．被称为递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．一阶递推公式二阶递推公式斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，F1=1，F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n>2）是二阶递推式.斐波那契数列：F1=1，F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n>2）此递推式是二阶递推式.1，1，2，3，5，8，13，21，解：a1=1,练习３斐波那契数列简介“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardoFibon

3、acci，生于公元1170年，卒于1250年.籍贯大概是比萨）.他被人称作“比萨的列昂纳多”.1202年，他撰写了《算盘全书》(LiberAbacci)一书.他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人.他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学.他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学.斐波那契数列（又译作“斐波拉契数列”或“斐波那切数列”）是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明

4、（如上图），起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、21……等等的正方形.这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列.斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来.如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一

5、个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对;两个月后，生下一对小兔后，兔子数共有两对;三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对;“兔子数列”依次类推可以列出下表：经过月数：01234567891011兔子对数：1123581321345589144表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列.这个数列有个十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项.斐波那契数列斐波那契（Fibonacci）数列的递推关系式：f(1)=1f(2)=1f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中

6、n2{f(n)}即为斐波那契数列.斐波那契数列的特征：从第三项起每一项等于它相邻的前2项的和.斐波那契数列举例1．多米诺牌（可以看作一个2×1大小的方格）完全覆盖一个n×2的棋盘，覆盖的方案数等于斐波那契数列.2.从蜜蜂的繁殖来看，雄蜂只有母亲，没有父亲，因为蜂后产的卵，受精的孵化为雌蜂，未受精的孵化为雄峰.人们在追溯雄峰的祖先时，发现一只雄峰的第n代祖先的数目刚好就是斐波那契数列的第n项F（n）.3．钢琴的13个半音阶的排列完全与雄蜂第六代的排列情况类似，说明音调也与斐波那契数列有关.5．自然界中一些花朵的

7、花瓣数目符合于斐波那契数列，也就是说在大多数情况下，一朵花花瓣的数目都是3,5,8,13,21,34,……(有6枚是两套3枚;有4枚可能是基因突变).4．如果一根树枝每年长出一根新枝，而长出的新枝两年以后，每年也长出一根新枝，那么历年的树枝数，也构成一个斐波拉契数列．