2 非线性方程求根

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1、作业P221P288P301第2章非线性方程求根求f(x)=0的根§1多项式基础（自习）依据：若fC[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f在(a,b)上必有一根。此时[a,b]称为有根区间。§2二分法a1b1x1x2a2b3x*b2a3是[a1,b1]的中点。若f(x1)f(a1)>0，则取a2=x1，b2=b1，否则取a2=a1，b2=x1原理设[a,b]是方程f(x)=0的一个有根区间，取是[a1,b1]的中点。若f(x1)=0，则x1是f(x)=0的一个根，若f(x1)f(a1)>0，则取a2=x1，b2=b1，否则取a2=a1，b2=x1得到[a2,b2]，满足：以[

2、a2,b2]取代[a1,b1]，继续以上过程，得到[a3,b3]……,直到某一xk时，，使f(xk)=0，则xk是f(x)=0的根，若不存在这样的xk，能得到一系列闭区间：表明存在x*，f(x*)=0，x*[ak,bk]，因此{ak}单调上升，有上界x*，{bk}单调下降，有下界x*，且这二个序列均存在极限：－－定理2-4若fC[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则由二分法产生的序列{xk}收敛于f(x)=0的一个根x*，且abx1x2abWhentostop?或不能保证x的精度x*2xx*误差分析：第1步产生的有误差第k步产生的xk有误差对于给定的精度,可估计二分法所需

3、的步数k：①简单;②对f(x)要求不高(只要连续即可).①无法求复根及偶重根②收敛慢注：用二分法求根，最好先给出f(x)草图以确定根的大概位置。或用搜索程序，将[a,b]分为若干小区间，对每一个满足f(ak)·f(bk)<0的区间调用二分法程序，可找出区间[a,b]内的多个根，且不必要求f(a)·f(b)<0。xy二分法求根算法例例例用二分法求在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过f(1)=-5<0有根区间中点f(2)=14>0-(1,2)+f(1.5)>0(1,1.5)f(1.25)<0(1.25,1.5)f(1.375)>0(1.25,1.375)f(1.313)<0(1.31

4、3,1.375)f(1.344)<0(1.344,1.375)f(1.360)<0(1.360,1.375)f(1.368)>0(1.360,1.368)，则（事后估计）例求方程f(x)=x3–e-x=0的一个实根。因为f(0)<0,f(1)>0；故f(x)在(0,1)内有根。用二分法解之，(a,b）=（0,1)计算结果如表：kabkxkf(xk)符号0010.5000－10.5000－0.7500－20.7500－0.8750＋3－0.87500.8125＋4－0.81250.7812＋5－0.78120.7656－60.7656－0.7734＋7－0.77340.7695－80

5、.7695－0.7714－90.7714－0.7724－100.7724－0.7729＋取x10=0.7729，误差为

6、x*-x10

7、<=1/211。ab(a+b)/2x*(a,f(a))(b,f(b))IsitreallybetterthanBisectionMethod?注：试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。试位法（比例求根法）f(x)=0x=g(x)等价变换f(x)的根g(x)的不动点思路从一个初值x0出发，计算x1=g(x0),x2=g(x1),…,xk+1=g(xk),…若收敛，即存在x*使得，且g连续，则由可知x*=g(x*)，即x*是g的不动点，也

8、就是f的根。我不相信如此简单，问题究竟是什么？(1)如何保证它的收敛性？(2)初值选取§3迭代法迭代法的几何意义方程x=g(x)的求根问题，在几何上就是确定xy平面内直线y=x和y=g(x)的交点p*。xyy=xx*y=g(x)x0p0x1p1Q1Q2p2x2如此继续，曲线y=g(x)得到点列p1,p2,…其横坐标分别为x1,x2,…如果点列{pk}趋向于p*,则相应的迭代值xk收敛到所求的根x*。可是这样做一定会收敛吗？xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=g(x)y=g(x)y=g(x)y=g(x)x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0

9、p0x1p1f(x)=0化为等价方程x=g(x)的方式是不唯一的,有的收敛,有的发散.例2x3-x-1=0(1)如果将原方程化为等价方程由此可见，这种迭代格式是发散的取初值(2)如果将原方程化为等价方程仍取初值依此类推,得x3=0.9940x4=0.9990x5=0.9998x6=1.0000x7=1.0000已经收敛,故原方程的解为x=1.0000同样的方程⇒不同的迭代格式有不同的结果什么形式的迭代法能够收敛呢?定理2-6考虑方程x=g(x),g(x)C[a,b