1.3.4 函数的奇偶性(2)

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1、1.3.4函数的奇偶性(2)【学习目标】1．掌握函数的基本性质(单调性、最值和奇偶性)．2．能应用函数的基本性质解决一些问题．3．会运用函数图象理解和研究函数的性质．练习1：下列结论正确的是()BA．偶函数的图象一定与y轴相交B．若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0C．定义域为R的增函数一定是奇函数D．图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数练习2：如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a＝__________.8练习3：设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＝_______

2、___.－5练习4：已知当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1－x)．若f(x)为奇函数，则当x∈(－∞，0)时，f(x)＝__________；若f(x)为偶函数，则当x∈(－∞，0)时，f(x)＝__________.x(1＋x)－x(1＋x)【问题探究】已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，判断f(x)在(－∞，0)上的单调性，并加以证明．答案：f(x)在(－∞，0)上单调递增．证明：设任意的x1，x2，且0

3、(－x1)＝－f(x2)＋f(x1)＝f(x1)－f(x2)<0，即f(－x2)－x2>0.∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，a>0，b>0，a

4、数增函数∴f(－x1)x1>0，则－x2<－x1<0.由于f(x)在(－∞，0)上是增函数，∴f(－x2)

5、，∴f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，∴－f(x2)<－f(x1)，∴f(x2)>f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上也是增函数．题型2函数奇偶性与单调性的应用【例2】(2014年广东二模)定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f＝0，则不等式xf(x)>0的解集是()思维突破：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．∴函数f(x)的草图如图D13.图D13答案：C【变式与拓展】2．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0)上是减)函数，且f(2)＝0，则使得f(x)＜0的x的取值范

6、围是(A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,2)D题型3抽象函数的奇偶性与单调性【例3】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数．(1)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(2)若f(2a2＋a＋1)

7、偶函数，∴f(－x1)＝f(x1)，f(－x2)＝f(x2)，∴f(x2)2a2－2a＋1，解得3a>0，即a>0.故实数a的取值范围是(0，＋∞)．本题以抽象函数为载体，综合考查函数的奇偶性与单调性的关系，以及利用函数的单调性解不等式的能力．判断出2a2＋a＋1>0,2a2－2a＋1>0，对本题的解答起到关键作用．【变式与拓展】3．已知函数f(x)为奇函数，且在(－2,2)上单调递增，且有f(2＋a)＋f(1－

8、2a)＞0