《等腰直角三角形在相似中的应用》教学案例

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1、等腰直角三角形在相似中的应用教材：人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级下册授课教师：东湖开发区花山中学李丽教材地位、分析：本节课是第27章相似三角形的判定的综合课程。其研究的主要内容是“在等腰直角三角形的组合变化中，借助等腰直角三角形边的比例关系构造一般三角形相似的模型。”它是对相似三角形的定义、特征、判定的综合利用。与相似三角形相关的几何问题灵活多变，本节课选取特殊多边形（等腰直角三角形）与相似三角形的结合的综合几何问题入手。本节内容是学生运用推理能力，数学建模思想的良好素材，也培养了学生的合作精

2、神和探究精神。教学目标：1、复习巩固相似三角形的判定及等腰直角三角形的特殊性；2、通过观察、推理等腰直角三角形的组合变化，发展学生演绎推理能力，提高数学模型思想；3、学生在充分经历观察、猜想、推理、验证、交流等活动中，获得成功的体验，调动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣。在小组交流活动中，培养学生的合作精神、探索精神。教学重难点：重点：通过观察、猜想等腰直角三角形的组合变化，建立数学模型；难点：灵活利用数学模型，解决问题。教学过程：问题与情境师生活动设计意图情境引入：利用幻灯片展示两个等腰直角三角形的旋转

3、变化。【任务一】1.如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠CBA=∠ADE=90°。（1）证明△ABC∽△ADE.（2）求出。2.△ABC固定不动，将△ADE绕A点顺时针旋转得到如图所示。判断的值是否发生变化？【归纳】由【任务一】你得到了什么启发？3、当△ADE继续旋转，结论会发生变化吗？教师提醒：请注意观察图中两个阴影三角形，并猜想线段BD与CE的数量关系。学生观察，猜想。1分钟小组交流。全班共同交流猜想。教师提出问题，学生口头回答。1、学生大胆猜想：=。2、学生推理验证。利用旋转角相等∠BAD=∠C

4、AE利用SAS证明△BAD∽△CAE。3、教师提问：观察△BAD与△CAE的边，有什么特点吗？4、引导学生归纳：△BAD的边AB、AD分别是等腰Rt△ABC与等腰Rt△ADE的直角边；△ACE的边AC、AE分别是等腰Rt△ABC与等腰Rt△ADE的斜边，为【任务一】做准备。本节课直接导入，简洁明快，使学生更容易进入学习状态。先自主思考，再小组合作探究。复习巩固：1、三角形相似的三种判定方法：AA,SAS,SSS；2、等腰直角三角形三边之比为1:1：；通过任务一引出本节课的内容，为学生能够积极主动投入到探索活动

5、作铺垫。此题可以很直观的观察到△BAD∽△CAE。要求学生独立学习，获得由两个等腰直角三角形的边的比例关系构造的一般三角形相似的初步认识。为学生建立模型打下基础。通过问题的探究让学生加深对构造一般三角形相似的本质特征的理解。【任务二】如图，△ABC为等腰三角形，点D为斜边上一点连CD，DE⊥CD，DE=CD，连AE。求证：AE∥BC。【任务三】小组讨论1分钟。学生小组讨论探究后，全体同学与教师共同完善解题过程和结论。学生进行小组交流与探究，进一步论证自己的猜想。教师深入小组参与活动。引导学生建立数学模型：利用

6、等腰直角三角形边的比例关系构造一般三角形相似。利用同类型边的比值相等构造一般相似三角形。引导学生思考：若证明AE∥BC一般有两种常见思路：①证明∠EAB=45°。②证明∠EAC=90°;思路1中利用基本相似模型（“8”字形构造二次相似）证明∠EAD=∠ECD=45°。思路2中∠EAC所在三角形为△ACE.其中AC,CE分别为△ABC，△CDE的直角边，斜边。将其统一变成斜边或者直角边。即1、过C点作AB的垂线，使AC由“直角边”变成“斜边”，构造新的等腰直角三角形。2、过E点作CE的垂线，使CE由“斜边”变成

7、“直角边”，构造新的等腰直角三角形。鼓励学生积极参与，合作交流，用自己的语言表达所建数学模型。培养学生归纳，总结能力及建模能力。让学生体会：由不同等腰直角三角形的同类型边构造的两个一般三角形相似。利用【任务一】所建模型，拓展应用，实现模型应用，环环相扣。利用等腰直角三角形角与边的特殊性，从不同观点出发，得到多种解题思路。一题多解。从多角度作辅助线分析，优化解题思路。如图,分别以锐角△ABC的边AB,BC,CA为斜边向外做等腰直角三角形△DAB,△EBC,△FAC。连接AE,DF.探究AE与DF的关系，并证明。

8、【小结】利用幻灯片展示模型。学生猜想AE⊥DF且AE=DF。思路一：证明AE=DF即证明两条线段所在三角形全等。由于△ABC的任意性，要找到相等的边只能在同一个等腰直角三角形中。因此思路一行不通。思路二：利用三角形相似。●AE所在的三角形△ACE(△ABE)不可能与DF所在的三角形△ADF相似。考虑构造中间桥梁线段。●不妨以△ACE为目标三角形进行线段的转换。△ACE的边CE是等腰直角△BCE的直角