1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时

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1、第一课时周期性1.4.2正弦函数、余弦函数的性质思考：如何画出正弦曲线、余弦曲线的图象？yxo1-1y=sinx，x[0,2]y=cosx，x[0,2]五点作图法正弦线法复习:正弦、余弦函数的图象x6yo--12345-2-3-41x6o--12345-2-3-41y完成下表并用五点作图法作出y=sinx和y=cosx给定区间上的图象。自变量cosxsinxy=sinx(xR)y=cosx(xR)010-1010-1010-1010-101根据正弦函数和余

2、弦函数的图象，你能说出它们具有哪些性质？-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxyxyO1-1y=cosx探究：根据正弦函数、余弦函数的图象，你能说出它们具有哪些性质吗？诱导公式sin(x+2π)=sinx,的几何意义．xyoXX+2πXX+2π正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的oyx4π8πxoy6π12π观察上图,正弦曲线每相隔个单位重复出现..诱导公式其理论依据是什么？-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxy当自变量x

3、的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数Ｔ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x)＝f(x+T)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数Ｔ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x)＝f(x+T)，那么函数f(x)就叫做周期函

4、数．非零常数T叫做这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.思考1：等式sin(300+1200)=sin300是否成立？如果成立，能否说明1200是正弦函数y=sinx,x∈R的一个周期吗？为什么？合作探究思考不是：等式sin(300+1200)=sin300是否成立？300成立，当x取定义域内的每一个值时，不是都有f(x)＝f(x+1200)思考2：周期函数的周期是否是唯一的？正弦函数的周期可以是哪些？答：周期函数的周期不止一个.正弦函

5、数的周期可以是…都是正弦函数的周期.事实上，任何一个常数都是它的周期.合作探究思考思考3：正弦函数有没有最小正周期？如果有，是多少？如果没有，请说明理由.正弦函数存在最小正周期，是合作探究思考思考4：周期函数一定存在最小正周期吗？举例说明。合作探究思考周期函数不一定存在最小正周期，例如函数y=2思考5：通过以上的探究，你能得到正弦函数在周期性方面的什么结论？余弦函数呢？结论：正弦函数是周期函数，都是它的周期，最小正周期是.余弦函数也是周期函数，都是它的周期，最小正周期是.正、余弦函数是周期函数，2kπ（k∈

6、Z,k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．说明：今后我们所涉及到的周期，若不特别说明，一般都是指函数的最小正周期。解：(1)(2)是以π为周期的周期函数.例求下列函数的周期：(1)y=3cosx,x∈R;(2)y=sin2x,x∈R;是以2π为周期的周期函数.满足ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋π）解：所以原函数是以４π为周期的周期函数．注意:f(x)的特点，f(x+T)的结构(3)y=2sin(),x∈R.思考：你能从例1的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？一般地，函数（其中）的最小正周期.课堂

7、练习P36．2求下列函数的周期：例2已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？解：由已知有：f(x＋2)=-f(x)∴f(x+4)=即f(x＋4)=f(x)∴由周期函数的定义知，f(x)是周期函数.f(x)=-[-f(x)]=-f(x＋2)f[(x＋2)+2]=一般地，函数y=Asin(ωx+Ψ),x∈R及函数y=Acos(ωx+Ψ),x∈R(其中A,ω,Ψ为常数,且A≠0,ω>0)的周期是T=2π/ω.合作探究：若ｆ（ｘ）的周期为Ｔ，则ｆ（ωｘ）的周期为多少

8、？思考探究：你能从例题的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关吗？课堂小结：1、一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数Ｔ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x)＝f(x+T)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．2、函数y=Asin(ωx+Ψ),x∈R及函数y=Acos(ωx+Ψ),x∈R(其中A,ω,Ψ为常数，且A≠0,ω>0)的周期是T=2π/ω.课外作