4.3解直角三角形及其应用

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1、解直角三角形及其应用本课内容本节内容4.3如图4-23，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.说一说图4-231.直角三角形的三边之间有什么关系？a2+b2=c2(勾股定理)图4-232.直角三角形的锐角之间有什么关系？∠A+∠B=90°.图4-233.直角三角形的边和锐角之间有什么关系？图4-23的对边斜边的邻边斜边的对边邻边根据下列每一组条件，能画出多少个直角三角形(全等的直角三角形算一个)？做一做（1）一个锐角为40°；（2）一个锐角40°，它的邻边长为3cm；无数个（3）一个锐角40°，它的对边长

2、为3cm；（4）一个锐角40°，斜边长为3cm；（5）斜边长为4cm，一条直角边长为3cm.1个1个1个1个做一做从这些问题的结论，你猜想有什么规律？这个猜想正确吗？（1）一个锐角为40°；（2）一个锐角40°，它的邻边长为3cm；无数个（3）一个锐角40°，它的对边长为3cm；（4）一个锐角40°，斜边长为3cm；（5）斜边长为4cm，一条直角边长为3cm.1个1个1个1个结论在直角三角形中，除直角外的5个元素(3条边和2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，利用上述关系式，就可以求出其余的3个未知元素，这叫作解直角三角形.动脑

3、筋如果知道的2个元素都是角，那么能求出直角三角形的边吗？不能.因为此时的直角三角形有无数多个.举例例1如图4-24，在Rt△ABC中，a=5，求∠B，b，c.图4-24解:又∵∴∵∴举例例2在Rt△ABC中，∠C=90°，a=15.60cm，b=8.50cm，求c，∠A，∠B(长度精确到0.01cm)，角度精确到1′).解:由于因此从而练习答：1.在Rt△ABC中，b=3cm，求∠A，a，c(精确到0.01cm).答：2.在Rt△ABC中，a=5.82cm，c=9.60cm，求b，∠A，∠B(角度精确到1′，长度精确到0.01cm).答：3.在

4、Rt△ABC中，c=15.68cm，求∠B，a，b(长度精确到0.01cm).举例例3如图4-25，一艘游船在离开码头A后，以和河岸成30°角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸的距离.图4-25?解:从点B作河岸线(看成直线段)的垂线，垂足为C，从而答：B处与河岸的距离约为250m．图4-25?在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=500m.由于BC是∠A的对边，AB是斜边，因此举例例4如图4-26，在高为28.5m的楼顶平台D处，用仪器测得一路灯电线杆底部B的俯角为，仪器高度AD为1.5m.求这根电线杆与这座楼的距离BC

5、(精确到1m).图4-26解:在Rt△ABC中，∠C=90°，图4-26由于BC是∠BAC的对边，AC是邻边，因此答：这根电线杆与这座楼的距离约为112m.从而AC=28.5+1.5=30(m)，练习答：如图4-27，一艘轮船航行到B处时，灯塔A在船的北偏东的方向，轮船从B处向正东方向行驶2400m到达C处，此时灯塔A在船的正北方向.求C处与灯塔A的距离(精确到1m).图4-27举例例5如图4-28，一座楼房的顶层阳台上方的屋檐成等腰梯形，上底长2.0m，下底长3.6m，一腰长1.9m.求等腰梯形的高(精确到0.1m)，以及一腰与下底所成的底角

6、(精确到1′).图4-28解:在等腰梯形ABCD中，从顶点D作下底AB的垂线，垂足为E.图4-28由于上底DC=2m，下底AB=3.6m，在直角三角形ADE中，∠AED=90°，AD=1.9m，AE=0.8m，因此从而由于AE是∠A的邻边，AD是斜边，因此从而答：等腰梯形的高约等于1.7m，一腰与下底所成的底角约等于E图4-29的(1)和(2)中，哪个山坡比较陡？观察(2)中的山坡比较陡.图4-27（1）（2）动脑筋如何用数量来反映哪个山坡陡呢？图4-27（1）（2）如图4-30，从山坡脚下点P上坡走到点N时，升高的高度h(即线段MN的长)与水

7、平前进的距离l(即线段PM的长度)的比叫作坡度，用字母i表示，即图4-30坡度通常写成1:m的形式．图4-30中的∠MPN叫作坡角(即山坡与地平面的夹角).图4-30显然，坡度等于坡角的正切.坡度越大，山坡越陡.举例例6如图4-30，一山坡的坡度i=1:1.8，小刚从山坡脚下点P上坡走了24m到达点N，他上升了多少米(精确到0.1m)？这座山坡的坡角是多少度(精确到1′)？图4-30解:用表示坡角的大小，由于因此在直角三角形PMN中，PN=240m.由于NM是∠P的对边，PN是斜边，因此从而答：小刚上升了约116.5m，这座山坡的坡角约等于图4

8、-30练习答：路基底宽为30.0m，坡角如图4-31，一铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的顶宽(即等腰梯形的上底长)为10.2m，路基的坡度i=1:1