2019届高三数学备考冲刺140分问题04函数中的存在性与恒成立问题（含解析）

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1、问题04函数中的存在性与恒成立问题一、考情分析函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选.二、经验分享(1)设,（1）上恒成立；（2）上恒成立.(2)对于一次函数有：(3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求

2、参数范围转化为求函数值域．(4)利用分离参数法来确定不等式,（,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:①将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式；②求在上的最大（或最小）值；③解不等式(或),得的取值范围.(5)对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围.(6)某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识

3、,往往会取得出奇制胜的效果.三、知识拓展(1)恒成立问题①.∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A；②.∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则f(x)maxg(x)恒成立,则F(x)=f(x)-g(x)>0,∴F(x)min>0；④.∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)=f(x)-g(x)<0,∴F(x)max<0；⑤.∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1)>g(x2)恒成立,则f(x)min>g(x)max；⑥.∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1)

4、.∃x0∈D,使得f(x0)>A成立,则f(x)max>A；②.∃x0∈D,使得f(x0)﹤A成立,则f(x)ming(x0)成立,设F(x)=f(x)-g(x),∴F(x)max>0；④.∃x0∈D,使得f(x0)g(x2)成立,则f(x)max>g(x)min；⑥.∃x1∈D,∃x2∈E,均使得f(x1)

5、使得f(x1)=g(x2)成立,则；②∃x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立,则.(4)恒成立与存在性的综合性问题①∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)>g(x2)成立,则f(x)min>g(x)min；②∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)

6、本题实质是存在性问题【点评】解法一在处理时,需要用分类讨论的方法,讨论的关键是极值点与区间[1,2]的关系；解法二是用的参数分离,由于ax2>x3＋10中x2∈[1,4],所以可以进行参数分离,而无需要分类讨论．【牛刀小试】【2017山西大学附中第二次模拟】设函数,其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令.由题意知存在唯一整数,使得在直线的下方.,当时,函数单调递减,当,函数单调递增,当时,函数取得最小值为.当时,,当时,,直线过定点,斜率为,故且,解得.(二)分离参数法【例2】已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线的斜率为．(1)

7、求实数的值；(2)若对任意成立,求实数的取值范围.【分析】（1）由结合条件函数的图象在点处的切线的斜率为,可知,可建立关于的方程：,从而解得；（2）要使对任意恒成立,只需即可,而由（1）可知,∴问题即等价于求函数的最大值,可以通过导数研究函数的单调性,从而求得其最值：,令,解得,当时,,∴在上是增函数；当时,,∴在上是减函数,因此在处取得最大值,∴即为所求.(2)由（1）知,,∴对任意成立对任意成立,令,则问题转化为求的最大值,,令,解得,当时,,∴在上是