2019届高三数学备考冲刺140分问题24含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题（含解析）

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1、问题24含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题一、考情分析纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查,主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题,要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力,才能顺利解答．从实际教学来看,这部分知识能力要求高、难度大,是学生掌握最为薄弱,看到就头疼的题目．分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．二、经验分享(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小

2、于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(3)根据不等式恒成立求参数问题，常用的方法是分类参数，转化为函数求最值．三、知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)

3、f(x)maxA成立⇔f(x)max>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；不等式f(x)

4、条件转化成能利用基本不等式的形式求解．求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．四、题型分析一、不等式恒成立问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体,渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现恒成立问题,其形式逐渐多样化,但都与函数、导数知识密不可分．【小试牛刀】【云南大理州2017

5、届第一次统测】设函数．（1）求的最小值；（2）记的最小值为,已知函数,若对于任意的,恒有成立,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知得．令,得；令,得,所以的单调减区间为,单调增区间为．从而．(三)主参换位——反客为主法某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度“反客为主”,即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下,变个视角重新审查恒成立问题,往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化,起到“山穷水尽疑

6、无路,柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．【例5】已知当时,恒成立,则实数的取值范围是____________.【分析】把不等式左边看作关于a的函数【解析】设,则对成立等价于,即,解之得或,即实数的取值范围是.【小试牛刀】已知函数,,且对任意的实数均有,．(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)若对任意的,恒有,求的取值范围．(四)数形结合——直观求解法若所给不等式进行合理的变形化为（或）后,能非常容易地画出不等号两边函数的图像,则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．【例6】若对任意,不等式恒

7、成立,则实数的取值范围是（）(A)(B)(C)（D）【解析】对,不等式恒成立,则由一次函数性质及图像知,即．【小试牛刀】若不等式在内恒成立,求实数的取值范围．综上得：．【小试牛刀】已知函数存在单调递减区间,求的取值范围3不等式恰好成立问题的处理方法【例9】已知当的值域是,试求实数的值．【解析】是一个恰成立问题,这相当于的解集是．当时,由于时,,,与其值域是矛盾,当时,是上的增函数,∴,的最小值为,,令【例10】已知,,⑴若存在,使得,求实数的取值范围；⑵若存在,使得,求实数的取值范围；⑶若对任意,恒有,求实数的取值范围

8、；⑷若对任意,恒有,求实数的取值范围；⑸若对任意,存在,使得,求实数的取值范围；⑹若对任意,存在,使得,求实数的取值范围；⑺若存在,使得,求实数的取值范围；⑻若存在,使得,求实数的取值范围.⑵解析：据题意：若存在,使得,即有解,故h(x)>,由⑴知h（x）=,于是得<.点评：在求不等式中的参数范围过程中,当不等式中的参数（或关于参