问题6.1含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题-2017届高三数学跨越一本线.

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1、277届爲三敎芳烤越一凉钱椭品问题一：含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题纵观近儿年高考对于不等式综合问题的考查，主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题，要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识能力耍求高、难度大，是学生掌握最为薄弱,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学牛没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.一、不等式恒成立问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成

2、立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体,渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.近几年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分.解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法；⑤消元转化法.下面我就以近儿年高考试题为例加以剖析.(一)函数性质法1•一次函数一一单调性法给定一次函数y=/(x)=ax+b[a工0)，若y=f(x)在[m,n]内恒有

3、/(x)>0，则根据函数[a>0ftz<0,的图像(线段)(如右下图)可得上述结论等价于(1)或(2)可合并l/(m)>0[/(H)>0.定成巴严同理，若在[加，同内恒有/(%)<0侧有｛【例1】若不等式2x-l>m(x2-1)对满足-25也52的所有m都成立，求x的范围.【分析】我们可以用改变主元的办法，将加视为主变元,即将元不等式化为：m(x2-l)-(2x-l)<0来求解.图1(2)【点评】有些问题，如果采取反客为主(即改变主元)的策略，可产生意想不到的效果.2•二次函数一一利用判别式、韦达定理及根的分布求解主要有以下几种基本类型：类型1：设

4、f(x)=ax2+bx+c(aHO).(1)/(x)>O^F.xeR上恒成立0且△<()；(2)/(x)vO在兀w/?上恒成立oavOHA<0.类型2：设/(x)=ax2--bx--c(a0).(1)当a〉0时,/(x)>0在兀g［a,0］上恒成立b0A<0b>0,或｛2a、/(0)>O・f(x)<0在兀w［a,0］上恒成立o/(a)<0,/(0)<0./(a)>0,/(0)>0・(2)当av0时,/(兀)>0在rw[a,0]上恒成立ob

5、a<-钦0*A<0f(x)<0在无g[a,0]上恒成立u>b々/(0)<0.则加

6、取值范围是(【例2］己知不等式nvc+—4v0对任意实数兀恒成立.A.(-1,0)B.[-1,0]c.(-°°,-l)U(0,+°°)D.(-1,0]【分析】由不等式mx2+-4v0对任意实数兀恒成立，知加=0或m<0,16m2+16m<0.由此能求出加的取值范围•rm<0,【解析】・・•不等式nu2+4nu-4v0对任意实数xf:.m=0或彳解得16/772+16/n<0.-1

7、上有零点.命题g：2+3(。「131+l)x+2W0在区间总，刖内恒成立.若命题““且q”是假命题,求实数Q的取值范围.【解析】P茸时,A=4^-4>0=fe&l或比一1.贝Up假时厂Kgl.g真时，令盘)=沪+3(a+1”+2,则得心-j.WJg假时4>-1-而卫且9为假，即P与g—真一假或同假•当P^q假时厂

8、<必一1或边;当卫假？真时，无解；当p假q假时厂l一¥3•其它函数：f(x)>0恒成立o/(%)•>0(注：若f(x)的最小值不存在，则f(x)>0恒成立of(x)的下界大于0)；/(%)<0恒成立o/(x)niax<0

9、(注：若/(X)的最大值不存在，则/(%)<0恒成立Of(x)的上界小于0).【例3】已知函数f(x)=ax4x+bx4-c(x>0)在兀二1处取得极值一3-c,其中a/为常数.(1)试确定a,b的值；(2)讨论函数/(x)的单调区间；(3)若对任意x>0,不等式/(%)>-2用恒成立，求的取值范围.【分析】f(x)>-2c2恒成立?B

10、J/(x)min>-2c2,要解决此题关键是求/(x)min，兀>0.【解析】(1)(2)略.(3)rti(2)知JO)在兀=1处取得极小值/(l)=-3-c,此极小值也是最小值.要使f(x)>-2c2(x>0

11、)恒成立，只需一3-c>-2c2.即2c2-c-3>0，从而(2c—3)(c+1)n0.解得c>—或c<—1的取值范围为(