(江苏专版)2019届高三数学备考冲刺140分问题02函数中存在性与恒成立问题(含解析).pdf

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1、问题02函数中存在性与恒成立问题一、考情分析函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选.二、经验分享(1)设,（1）上恒成立；（2）上恒成立.(2)对于一次函数有：(3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离

2、出来,可把求参数范围转化为求函数值域．x,0(4)利用分离参数法来确定不等式f,（xD,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:①将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式；x②求f在xD上的最大（或最小）值；【牛刀小试】【江苏省淮安市淮海中学2019届高三上学期测试】函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是____.【解析】的定义域为，且，为奇函数，且在上单调递增，由得，，，，①时，，②时，，的最小值为1，，实数的取值范围是，故答案为.(二)分离参数法【例2】已知函数的图象在点xe（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．(1)求实数a的值；(

3、2)若f(x)kx2对任意x0成立,求实数k的取值范围.【分析】（1）由结合条件函数的图象在点xe处的切线的斜率为3,可知f'(e)3,可建立关于a的方程：,从而解得a1；（2）要使f(x)kx2对任意x0恒成立,只需即可,而由（1）可知,∴问题即等价于求函数的最大值,可以通过导数研究函数g(x)的单调性,从而求得其最值：,令g'(x)0,解得x1,当0x1时,g'(x)0,∴g(x)在(0,1)上是增函数；当x1时,g'(x)0,∴g(x)在(1,)上是减函数,因此g(x)在x1处取得最大值g(1)1,∴k1即为所求.【点评】在函

4、数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时,常用分离参数法.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题.x【牛刀小试】【2017河北省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在R上的奇函数f满足:当x0xx时,f3,若不等式对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是.【答案】,2(五)存在性之常用模型及方法x1【例5】设函数,aR且a1.曲线yf在点1,

5、f处的切线的斜率为0.（1）求b的值；（2）若存在x1,,使得,求a的取值范围.x1【分析】（1）根据条件曲线yf在点1,f处的切线的斜率为0,可以将其转化为关于a,b的方程,进而求得b的值：,；（2）根据题意分析可得若存在x[1,),使得不等式成立,只需即可,因此可通过探求f(x)的单调性进而求得f(x)的最小值,进而得到关于a的不等式即可,而由（1）可知,则,因此需对a的取值范围进行分类讨论并判断f(x)的单调性,从而可以解得a的取值范围是.【解析】（1）,x110由曲线yf在点1,f处的切线的斜率为0,得f,1a

6、②当a1时,1,21aa1aax1,,1aa1afx0fx极小值,不合题意,无解,10分a③当a1时,显然有f(x)0,0,∴不等式恒成立,符合题意,a1综上,a的取值范围是.6．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】已知函数,若存在唯一的整数x,使得成立,则实数a的取值范围为__________．【答案】0,23,87．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】若存在x∈R,使得a3x﹣4≥2x2x（a＞0且a≠1）成立,则实数a的取值范围是_____．【答案】a2或0

7、a92且a1..【解析】,∴（3x﹣4）,4当3x﹣4=0即x时,3故舍去4当3x﹣40即x时,,令t=3x﹣4＞0,,所以loga≥1．所以a≥2．3241当3x﹣40即x时,令t=3x﹣40,loga，所以a92329综上,a≥2或0＜a92且a≠1．14．【2016届山东师大附中高三上学期二模】已知函数（a为常数,e=2．718…）,且函数处的切线和处的切线互相平行．（1）求常数a的值；（2）若存在x使不等式成立,求实数m的取值范围．【答案】（1）a1；（2）(,0)．【解析】试题分析：本题主要考查导数