2018_2019学年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式本讲知识归纳与达标验收讲义（含解析）新人教a版

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1、第四讲数学归纳法证明不等式考情分析通过分析近三年的高考试题可以看出，不但考查用数学归纳法去证明现成的结论，还考查用数学归纳法证明新发现的结论的正确性．数学归纳法的应用主要出现在数列解答题中，一般是先根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法达到证明的目的．真题体验1．(2017·浙江高考)已知数列{xn}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N＋)

2、．证明：当n∈N＋时，(1)00.当n＝1时，x1＝1>0.假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，xk>0，那么n＝k＋1时，若xk＋1≤0，则00.因此xn>0(n∈N＋)．所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)>xn＋1.因此0

3、(1＋x)(x≥0)，f′(x)＝＋ln(1＋x)>0(x>0)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，因此x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0，故2xn＋1－xn≤(n∈N＋)．(3)因为xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1，所以xn≥.由≥2xn＋1－xn得－≥2>0，所以－≥2≥…≥2n－1＝2n－2，故xn≤.综上，≤xn≤(n∈N＋)．2．(2015·安徽高考)数列{xn}满足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N＋)．(1)证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c＜0；(2)

4、求c的取值范围，使{xn}是递增数列．解：(1)证明：先证充分性，若c＜0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c＜xn，故{xn}是递减数列；再证必要性，若{xn}是递减数列，则由x2＜x1，可得c＜0.(2)(i)假设{xn}是递增数列．由x1＝0，得x2＝c，x3＝－c2＋2c.由x1＜x2＜x3，得0＜c＜1.由xn＜xn＋1＝－x＋xn＋c知，对任意n≥1都有xn＜，①注意到－xn＋1＝x－xn－c＋＝(1－－xn)(－xn)，②由①式和②式可得1－－xn＞0，即xn＜1－.由②式和xn≥0还可得，对任意n≥1都有－xn＋1≤(1－)(－xn)．③反复运用③式，得－xn≤(1－)n

5、－1(－x1)＜(1－)n－1.xn＜1－和－xn＜(1－)n－1两式相加，知2－1＜(1－)n－1对任意n≥1成立．根据指数函数y＝(1－)n的性质，得2－1≤0，c≤，故0＜c≤.(ii)若0＜c≤，要证数列{xn}为递增数列，即xn＋1－xn＝－x＋c＞0.即证xn＜对任意n≥1成立．下面用数学归纳法证明当0＜c≤时，xn＜对任意n≥1成立．(1)当n＝1时，x1＝0＜≤，结论成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时结论成立，即：xk＜.因为函数f(x)＝－x2＋x＋c在区间内单调递增，所以xk＋1＝f(xk)＜f()＝，这就是说当n＝k＋1时，结论也成立．故xn＜对任意n≥1成立．因此

6、，xn＋1＝xn－x＋c＞xn，即{xn}是递增数列．由(i)(ii)知，使得数列{xn}单调递增的c的范围是.归纳—猜想—证明不完全归纳的作用在于发现规律，探求结论，但结论是否为真有待证明，因而数学中我们常用归纳——猜想——证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题．[例1]　若不等式＋＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．[解]　当n＝1时，＋＋>，即>，所以a<26，而a∈N＋，所以取a＝25.下面用数学归纳法证明：＋＋…＋>.(1)当n＝1时，已证．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，结论成立，即＋＋…＋>，则当n＝k＋1时，有＋＋…＋＋＋＋

7、＝＋＋＋－>＋＋－，因为＋＝>，所以＋－>0，所以＋＋…＋>也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，都有＋＋…＋>，所以a的最大值为25.数学归纳法的应用归纳法是证明有关正整数n的命题的一种方法，应用广泛．用数学归纳法证明一个命题必须分两个步骤：第一步论证命题的起始正确性，是归纳的基础；第二步推证命题正确性的可传递性，是递推的依据．两步缺一不可，证明步骤与格式的规范是数学归纳法的一个特征．[例2]　设数列