江苏省徐州市中考数学总复习提分专练05相似三角形综合问题习题

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1、提分专练(五)　相似三角形综合问题

2、类型1

3、　平面直角坐标系中的相似1.[2018·鄂州]如图T5-1,已知直线y=x+与抛物线y=ax2+bx+c相交于A(-1,0),B(4,m)两点,抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C0,-,交x轴正半轴于D点,抛物线的顶点为M.(1)求抛物线的解析式及点M的坐标;(2)设点P为直线AB下方的抛物线上一动点,当△PAB的面积最大时,求△PAB的面积及点P的坐标;(3)点Q为x轴上一动点,点N是抛物线上一点,当△QMN∽△MAD(点Q与点M对应)时,求Q点的坐标.图T5-1

4、类型2

5、　相似三角形与四边形2.[2017·大连]如图T5-

6、2①,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OB=OD,OC=OA+AB,AD=m,BC=n,∠ABD+∠ADB=∠ACB.(1)填空:∠BAD与∠ACB的数量关系为　　　　; 13(2)求的值;(3)将△ACD沿CD翻折,得到△A'CD(如图②),连接BA',与CD相交于点P.若CD=,求PC的长.图T5-2

7、类型3

8、　相似三角形与平行四边形3.[2018·重庆A卷]如图T5-3,在▱ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是BC上一点,且AB=AE,连接EO并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线,垂足为H,交AC于点G.(1)若AH=3,EH=1,求△ABE的面积

9、;(2)若∠ACB=45°,求证:DF=CG.图T5-3

10、类型4

11、　相似三角形与圆134.[2017·苏州]如图T5-4,已知△ABC内接于☉O,AB是直径,点D在☉O上,OD∥BC,过点D作DE⊥AB,垂足为E,连接CD交OE边于点F.(1)求证:△DOE∽△ABC;(2)求证:∠ODF=∠BDE;(3)连接OC,设△DOE的面积为S1,四边形BCOD的面积为S2,若=,求sinA的值.图T5-4

12、类型5

13、　相似三角形中的动点问题5.[2015·宿迁]如图T5-5,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(0,4),直线y=x-3与x轴,y轴分别交于点A,B,点M是直线AB上的一

14、个动点,则PM长的最小值为　　　　. 13图T5-56.如图T5-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点M,N从点C同时出发,均以每秒1cm的速度分别沿CA,CB向终点A,B移动,同时动点P从点B出发,以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动,连接PM,PN,设移动时间为t(单位:s,0

15、可解得点B的坐标,再将A,B,C三点的坐标代入二次函数关系式即可求出其关系式,再将其化为顶点式就能得到点M的坐标;(2)过点P作PE⊥x轴,交AB于点E,交x轴于点G,过点B作BF⊥x轴于点F,则S△PAB=PE·AF.设点P的坐标为n,n2-n-,则点E的坐标为n,n+,即可得到S△PAB的函数关系式,将其化为顶点式即可求出最大值;(3)由勾股定理的逆定理可证得△MAD是等腰直角三角形,则△QMN也是等腰直角三角形,从而得到点Q的坐标.解:(1)将B(4,m)的坐标代入y=x+,得m=×4+=,∴B4,.将A(-1,0),B4,,C0,-的坐标代入y=ax2+bx+c得解

16、得∴抛物线的解析式为y=x2-x-,∴y=(x2-2x)-=(x-1)2-2,故顶点M的坐标为(1,-2).(2)如图①,过点P作PE⊥x轴,交AB于点E,交x轴于点G,过点B作BF⊥x轴于点F.∵A(-1,0),B4,,∴AF=4―(―1)=5.设点P的坐标为n,n2-n-,则点E的坐标为n,n+.∵点P在直线AB下方,∴PE=n+-n2-n-=-n2+n+2,∴S△PAB=S△APE+S△BPE=PE·AG+PE·FG=PE·(AG+FG)=PE·AF=×5-n2+n+2=-13+,∴当n=时,△PAB的面积最大,且最大面积为,当n=时,n2-n-=×--=-,故此时点

17、P的坐标为,-.(3)∵抛物线的解析式为y=x2-x-=-2,∴抛物线的对称轴为直线x=1.又∵A(-1,0),∴点D的坐标为(3,0),又∵M的坐标为(1,-2),∴AD=3―(―1)=4,AD2=42=16,AM2=[1-(-1)]2+(-2)2=8,DM2=(1―3)2+(―2―0)2=8,∴AD2=AM2+DM2,且AM=DM,∴△MAD是等腰直角三角形,∠AMD=90°,又∵△QMN∽△MAD,∴△QMN也是等腰直角三角形且QM=QN,∠MQN=90°,∠QMN=45°,又∵∠AMD=90°,∴∠AMQ=