2014年全国高中数学联合竞赛一试(a卷)试题及详细解析(word版)

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1、2014年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。1.若正数满足，则的值为_________答案：108.解：设，则，，，从而。2.设集合中的最大元素与最小元素分别为，，则的值为___________答案：。解：由知，，当，时，得最大元素，又，当时，得最小元素。因此，。3.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是________答案：解：在上，单调递增，等价于，即。在上，单调递增，等价于，即，因此实数的取值范围是4.数列满足，，则_____答案：。解：由题设记数列的前项和为，则6所以将上面两式相减，得故1.正四棱锥P—AB

2、CD中，侧面是边长为1的正三角形，M，N分别是边AB，BC的中点，则异面直线MN与PC之间的距离是____________答案：解：设底面对角线AC，BD交于点O，过点C作直线MN的垂线，交MN于点H。由于PO是底面的垂线，故PO⊥CH，又AC⊥CH，所以CH⊥平面POC，故CH⊥PC。因此CH是直线MN与PC的公垂线段，又，故异面直线MN与PC之间的距离是。2.设椭圆的两个焦点是，过点的直线与交于点。若，且。则椭圆的短轴与长轴的比值为_______答案：解：不妨设，。记椭圆的长轴，短轴的长度分别为，，焦距为，则，且由椭圆的定义知，于是设为线段的中点，则，且有。由勾股定理知，即，

3、解得，进而，因此椭圆6的短轴与长轴的比值为1.设等边三角形ABC的内切圆半径为2，圆心为I，若点P满足PI=1，则△APB与△APC的面积之比的最大值为________答案：解：由PI=1知点P在以I为圆心的单位圆K上。设，在圆上取一点，使得取到最大值，此时应落在内，且是与圆的切点。由于，故①其中，由知，，于是，所以②根据①、②可知，当时，的最大值为8.设A，B，C，D是空间四个不共面的点，以的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则A，B可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为__________答案：解：每对点之间是否连边有2种可能，共有种

4、情况。考虑其中A，B可用折线连接的情况数。（1）有AB边：共种情况。（2）无AB边，但有CD边：此时A，B可用折线连接当且仅当A与C，D中至少一点相连，且B与C，D中至少一点相连，这样的情况数为。6（1）无AB边，也无CD边：此时AC，CB相连有种情况，AD，DB相连也有种情况，但其中AC，CB，AD，DB均相连的情况重复计了一次，故A，B可用折线连接的情况数为。以上三类情况数的总和为32+9+7=48，故A，B可用折线连接的概率为。二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9.（本题满分16分）平面直角坐标系中，P是不在轴上的一个动点，满足条

5、件：过P可作抛物线的两条切线，两切点连线与PO垂直。设直线与直线PO，轴的交点分别为Q，R。（1）证明R是一个定点；（2）求的最小值。解：（1）设点的坐标为，易知。记两切点，的坐标分别为，，则，的方程分别为①②而点的坐标同时满足①，②。故，的坐标均满足方程③，故③就是直线的方程。直线与的斜率分别为与，由知，，故。………4分从而③即为，故与轴的交点是定点（2，0）。…………8分（2）因为，故直线的斜率，直线的斜率。设，则为锐角，且6当时，的最小值为。……………………16分10.（本题满分20分）数列满足，。求正整数，使得…。解：由已知条件可知，对任意正整数，，且①由于，故。由①得，

6、，故即。…………………………10分因此，………（利用①）由，得。…………………20分11.（本题满分20分）确定所有的复数，使得对任意复数，均有。解：记，则①假如存在复数、、，，使得，则由式①知注意到，，6故即。…………………………10分另一方面，对任意满足的复数，令，，其中，则，而，故，，此时将，，代入①可得，，即。综上所述，符合要求的的值为……………………20分6