2019版高考数学复习专题五三角恒等变换与解三角形讲义理（普通生，含解析）

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1、重点增分专题五　三角恒等变换与解三角形[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2018正、余弦定理的应用·T17二倍角公式及余弦定理·T6二倍角公式·T4同角三角函数关系及两角和的正弦公式·T15三角形的面积公式及余弦定理·T92017正、余弦定理、三角形的面积公式及两角和的余弦公式·T17余弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式·T17余弦定理、三角形的面积公式·T172016正、余弦定理、三角形面积公式、两角和的正弦公式·T17诱导公式、三角恒等变换、给值求值问题·T9同角三角函数的基本关系、二倍角公式·T5正弦定理的应用、诱导公式·T

2、13利用正、余弦定理解三角形·T8(1)高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．(2)若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9或第13～15题位置上．(3)若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等．保分考点·练后讲评[大稳定]1.＝(　　)A．－　　　　　　　　　B．－1C.D．1解析：选D　原式＝2×＝2×＝2sin30°＝1.故选D.2.(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝，则cos2α＝(　　)A.B.C．

3、－D．－解析：选B　∵sinα＝，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选B.3.已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　)A.B.C.D.解析：选C　∵0<α<，0<β<，∴－<α－β<.∵sin(α－β)＝－，sinα＝，∴cos(α－β)＝，cosα＝，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝，∴β＝.[解题方略]　三角函数求值的类型及方法给角求值解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系

4、，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形给值求值给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的给值求角实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围[小创新]1.已知sin(α＋β)＝，

5、sin(α－β)＝，则log2等于(　　)A．2B．3C．4D．5解析：选C　因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sinαcosβ－cosαsinβ＝，所以sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，所以＝5，所以log2＝log52＝4.故选C.2.已知tan2α＝，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sinα，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin的值为(　　)A．－B．－C．－D．－解析：选A　由tan2α＝，即＝，得tanα＝或tanα＝－3.又f(x)＝sin

6、(x＋α)－sin(x－α)－2sinα＝2cosxsinα－2sinα≥0恒成立，所以sinα≤0，tanα＝－3，sinα＝－，cosα＝，所以sin＝sinαcos－cosαsin＝－，故选A.3.设向量a＝(cosα，－1)，b＝(2，sinα)，若a⊥b，则tan＝________.解析：∵a＝(cosα，－1)，b＝(2，sinα)，a⊥b，∴2cosα－sinα＝0，∴tanα＝2，∴tan＝＝＝.答案：[分点研究]题型一　利用正、余弦定理进行边、角计算[例1]　(2018·石家庄质检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，

7、c，且＝tanA＋tanB.(1)求角A的大小；(2)设D为AC边上一点，且BD＝5，DC＝3，a＝7，求c.[解]　(1)∵在△ABC中，＝tanA＋tanB，∴＝＋，即＝，∴＝，则tanA＝，又0

8、c≤2，又由两边之和大于第三边可得b＋c>，∴b＋c∈(，2]．[变式2]　若本例(2)变为：AD⊥BC，且