河南南乐数学圆锥曲线的错解例析人教版

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1、圆锥曲线的错解例析●濮阳市第一高级中学吉晓波邮编：457000圆锥曲线是高中数学的重点内容，也是高考命题的一个热点．圆锥曲线题目涉及知识面广，综合性强，在解题过程中稍有疏忽就会出现错误．本文例析常见的错误解法并进行错因剖析:一、对圆锥曲线的定义理解不清楚例1、平面内一点P到定点的距离之差的绝对值等于10，则点P的轨迹为（）A.双曲线B.椭圆C.两条射线D.线段错解：根据双曲线的定义知，点P的轨迹是双曲线，故选A错解分析：双曲线定义中，动点与两定点的距离之差的常数必须小于两定点之间的距离，即2a<2c，而本题中，因此点P的轨迹不是双曲线正解：由可知，点P的轨迹为以为端点的两条射线评注：解决此类

2、问题的关键是正确理解圆锥曲线的第一和第二定义二、焦点位置不清或简单的换a、b例2、求长轴是短轴的3倍，且经过点P（6,0）的椭圆方程.错解：设焦点在ｘ轴上时方程为，则由题意有.∴方程为.　交换ａ，ｂ得焦点在ｙ轴上的方程为.故所求椭圆方程有两个和错解分析：教材上讲解圆锥曲线的定义时，指出圆锥曲线的焦点所在轴不同，方程也不同.本题简单的交换就得到另一方程，导致错解正解：设焦点在ｘ轴上时方程为，则由题意有.∴方程为.设焦点在ｙ轴上时方程为，则由题意有，从而这时方程为.　故满足条件的椭圆方程有两个：和.评注：解决此类问题要注意：如果焦点的位置不确定，曲线形状不改变，则可简单机械地交换，否则就要重新设

3、标准方程再进行推算，最好的做法是都设再分别求.三、误用判别式致错例3、已知双曲线C：，过点P（1,1）作直线ｌ，使得ｌ与C有且仅有一个公共点，则满足上述条件的直线ｌ共有（　　）A.1条　B.2条　C.3条　　D.4条错解：设直线ｌ的方程为ｙ－1＝ｋ（ｘ－1），即ｙ＝ｋｘ－ｋ＋1，与联立消去ｙ得（4－ｋ2）ｘ2＋（2ｋ2－2ｋ）ｘ－ｋ2＋2ｋ－5＝0.要直线ｌ与C有且仅有一个公共点，必须△＝（2ｋ2－2ｋ）2－4（4－ｋ2）（－ｋ2＋2ｋ－5）＝0，解得ｋ＝.　故满足条件的直线ｌ只有一条，选A.错解分析：以上解法有三个问题，一是双曲线与直线只有一个交点，除了利用△＝0得出相切的一条外，还有与渐

4、近线平行的直线也与双曲线只有一个交点；二是利用△＝0时，必须以一元二次方程的二次项系数不为零为前提；三是设直线点斜式时，还要考虑斜率不存在的情况.　正解：（1）若直线ｌ的斜率不存在，即ｌ：ｘ＝1，它与双曲线的右支相切于顶点（1，0），故ｌ：ｘ＝1满足条件；（2）若直线ｌ的斜率存在，设ｌ：ｙ－1＝ｋ（ｘ－1），即ｙ＝ｋｘ－ｋ＋1，与联立消去ｙ得（4－ｋ2）ｘ2＋（2ｋ2－2ｋ）ｘ－ｋ2＋2ｋ－5＝0.（1）当4－ｋ2＝0即ｋ＝±2时，直线ｌ平行于渐近线，与双曲线也只有一个交点，故ｌ：ｙ＝2ｘ－1和ｙ＝－2ｘ＋3也满足条件；（2）当4－ｋ2≠0即ｋ≠±2时，由△＝0得ｋ＝，故ｌ：ｙ＝ｘ－也满足.

5、综合以上所述知，满足条件的直线ｌ共有四条，故应选D评注：在解题过程中，根据题型特征，优先考虑问题的某些方面，可以有效地防止错解和漏解，分类讨论是解决其关键四、忽视题目隐含条件例4、已知在中，BC=8,另两边长之差为6，求顶点A的轨迹方程错解：以边BC所在直线为x轴，BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，因为，所以点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线，由已知得a=3,c=4，，故顶点A的轨迹方程为错解分析：上述解法忽视了A、B、C为三角形的三个顶点，即A、B、C三点不能共线这一限制，从而导致结果错误正解：前面同错解，由A、B、C三点不能共线知点A不能落在x轴上，所以顶点A的轨迹方程为评注：解轨迹

6、问题时，求出轨迹方程后，一定要考虑轨迹上的每一个点是不是都符合题意，即考虑轨迹方程的纯粹性，有没有多余的点.五、忽视方法结论的前提致错例5、设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线，问当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论错解：由题意A、B的中点为P，有，又和作差得，∵，∴无解，故这样的直线不存在错解分析：本题看起来没有错误，其实本题在利用“设而不求”思想解决中点弦问题时忽略了其前提是直线L的斜率存在正解：（1）直线的斜率不存在时，显然有=0（2）直线的斜率存在时，设为k，截距为b，即直线：y=kx+b由已知得，即的斜率存在时，不可能经过焦点所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦

7、点F评注：在运用“设而不求法”处理圆锥曲线中的弦的问题时，虽然这一方法简单快捷，但它却无法证明这条直线一定会与曲线相交，故必须进行验证.跟踪练习：1.点P（x,y）满足，则P点的轨迹是（）A、直线B、抛物线C、双曲线D、椭圆2.已知椭圆的焦点在坐标轴上，且过点，离心率，求此椭圆的标准方程3.若双曲线的右支上一点P（a,b）直线y=x的距离为，则a+b的值是（）A、B、C、D、4.已知一动圆与圆外切，而与圆内切