[方案]第5讲数的整除性(一)

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1、第5讲数的整除性（一）三、四年级已经学习了能被2,3,5和4,8,9,6以及11整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。数的整除性质主要冇：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。（5）几

2、个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。例1在□里填上适当的数字，使得七位数口7358口□能分别被9,25和8整除。分析与解：分别出能被9,25和8整除的数的特征，很难推断岀这个七位数。因为9,25,8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被9X25X8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。这个七位数是4735800c例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？分析与解：因为41X271=

3、11111,所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。按“]1111”把2000个1每五位分成一节,20004-5=400,就有400节，1111,1111,-11110v>400个mil因为2000个1组成的数11-11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根据整除的性质（1）可知，由2000个1组成的数111…11能被41和271整除。例3现冇四个数：76550,76551,76552,76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：12=1

4、2X1=6X2二3X4。要从已知的四个数小找出两个，使其积能被12整除，有以下三种情况：（1）找出一个数能被12整除，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被12整除；（2）找出一个数能被6整除，另一个数能被2整除，那么它们的积就能被12整除；（3）找出一个数能被4整除，另一个数能被3整除，那么它们的积能被12整除。容易判断，这四个数都不能被12整除，所以第（1）种情况不存在。对于第（2）种情况，四个数中能被6整除的只有76554,而76550,76552是偶数，所以可以选76554和76550,76554和76552。对于第（3）种情况

5、,四个数中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以选76552和76551,76552和76554。综合以上分析，去掉相同的，可知两个数的乘积能被12整除的冇以下三组数：76550和76554,76552和76554,76551和76552。例4在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？分析与解：从题设的条件分析，对所求五位数有两个要求:①各数位上的数字Z和等于43；②能被11整除。因为能被11整除的五位数很多，而各数位上的数字之和等于43的五位数较少，所以应选择①为突破口。有两种情况：(

6、1)五位数由一个7和四个9组成；(2)五位数由两个8和三个9组成。上而两种情况屮的五位数能不能被11整除？9,8,7如何摆放呢？根据被11整除的数的特征，如果奇数位数字之和是27,偶数位数字之和是16,那么差是11,就能被11整除。满足这些要求的五位数是：97999,99979,98989o例5能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数Z和都能被3整除？分析与解：10个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我们采用反证法。假设题目的要求能实现。那么出题意，从前到后每两个数一组共冇5组，每组的两数Z和都能被3整除，推知1〜10

7、的和也应能被3整除。实际上，1〜10的和等于55,不能被3整除。这个孑盾说明假设不成立，所以题目的要求不能实现。练习51.已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数?2.如果两个数的和是64,这两个数的积可以整除4875,那么这两个数的差是多少？3.173□是个四位数。数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可以被9,11,6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少？4.用1〜6六个数字组成一个六位数abcdef，期中不同的字母代表1〜6中不同的数字。要求亦能被2整除，赢能被

8、3整除，而能被4整除，"C屁是5的倍数，abcdef是6的倍数•这样的六位数有几个？各是多少？1.红光小学五年级二班期末数学考试平均分是90分，总分是A95B,这个班有多少名学生