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1、第21讲数的整除性知识方法扫描1．数的整除性的概念对于整数a和不为零的整数b，如果存在整数q，使得a=bq成立，则就称b整除a或a被b整除，记作b∣a。此时，我们称b是a的约数，a是b的倍数2．数的整除的特征（1）能被2（或5）整除的数的特征：个位数字能被2（或5）整除。（2）能被4（或25）整除的数的特征：末两位数字能被4（或25）整除。（3）能被8（或125）整除的数的特征：末三位数字能被8（或1255）整除。（4）能被3（或9）整除的数的特征：各位数字之和能被3（或9）整除。（5）能被11整除的数的特征：奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差
2、能被11整除3．数的整除性的性质（1）若a∣b，b∣c，则a∣c（2）若c∣a，c∣b，则c∣(a±b)（3）若b∣a,n为整数，则b∣na（4）若a∣bc,且a,b互质,则a∣c.（5）若a∣b,c∣b,且a,c互质，那么ac∣b.经典例题解析例1（2002年重庆市初中数学竞赛试题）请你将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数码排出一个能被11整除，且最大的九位数，并且简述排数的过程。[解1]设要求的数为N，因N是11的倍数，所以它的奇数数位的数字之和与偶数数位的数字之和的差是11的倍数，有0，11，22，33，44这五种情况。因为奇数数位的
3、数字之和与偶数数位的数字之和的和就是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45是一个奇数，我们知道两整数的和与差有相同的奇偶性，所以这个差就只能为11或33。若这个差为33，因和为45，故奇数数位的数字之和与偶数数位的数字之和一个为6，一个为39，但1至9这9个数中最小的四个之和为10，大于6，故差不能等于33。即差为11。由和为45，差为11不难算出奇数数位的数字之和与偶数数位的数字之和一个为17，一个为28。为使这个九位数最大，我们先将高位安排得尽可能大，先将前四位排成9876，由于偶数数位的数字之和为17，现已有8+6=14，偶数数位其它两个数
4、字之和为3，它们只能是2和1。于是这个九位数为987652413。[解2]将最大的九位数987654321除以11余数为5，故987654321-5=987654316是11的倍数。我们将987654316每次减去11，知道得到一个各位数字均不相同的九位数为止。这样减去173个11后第一次得到一个各位数字均不相同的九位数987652413，这就是满足题目条件的最大的九位数。例2（1997年北京市初中数学竞赛试题）试求出末8位恰是18421997并且能被71整除的最小自然数[解]设这个自然数为n，n=k×108+18421997=k×（71×1408
5、450+50）+71×259464+53=71（1408450k+259464）+50k+53于是问题变成，求最小的自然数k，使得71
6、50k+53。设50k+53=71m，m的末位为3，取m=3，13，23，43，仅当m=43时，k是整数，此时k=60。所以k的最小值为6018421997。例3（1985年北京市初中数学竞赛试题）设a为自然数，证明10
7、(a1985-a1949)12．a1985-a1949=a1949(a36-1)由于an-1=(a-1)(an-1+an-2+…+1),所以a36-1=(a4)9-1=(a4-1)(a32+a28
8、+…+1).如果a的个位数字是1,3,7,9中的一个，不难验证a4-1的个位数字是0，即这时a4-1被10整除，从而更有a1985-a1949被10整除。如果a的个位数字是5，那么a36是奇数，a36-1被2整除，a1949被5整除，所以a1985-a1949被10整除。如果a的个位数字是2,4,6,8中的一个，那么不难验证a4-1的个位数字是5,从而a1985-a1949被10整除。如果a的个位数字是0,当然10
9、(a1985-a1949).例4（2000年上海市初中数学竞赛试题）求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数
10、的各位数字之和.[解]设满足条件的四位数为=1000a+100b+10c+d,则1000a+100b+10c+d=111(a+b+c+d)即+(a-11b+10c+d)=111(a+b+c+d),于是111
11、(a-11b+10c+d)。又-98≤a-11b+10c+d≤108，于是a-11b+10c+d=0，a+10c+d=11b1000a+100b+10c+d=111(9a+b)由已知条件，9a+b=a+b+c+d,所以8a=c+d≤18，故a=1或a=2.若a=1，c+d=8，a+10c+d=9+9c=11b,满足上式的一位整数b,c不存在；若
12、a=2，c+d=16，a+10c+d=18+9c=11b,显然b=9,于是c=9,d=7所求的四位数只有一个：2997。例
