7年级第21讲数的整除性[资料]

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1、知识方法扫描1.数的整除性的概念对于整数a和不为零的整数b,如果存在整数q,使得戸bq成立，则就称b整除a或a被b整除，记作bIa。此时，我们称b是a的约数，a是b的倍数2・数的整除的特征（1）能被2（或5）整除的数的特征：个位数字能被2（或5）整除。（2）能被4（或25）整除的数的特征：末两位数字能被4（或25）整除。（3）能被8（或125）整除的数的特征：末三位数字能被8（或1255）整除。（4）能被3（或9）整除的数的特征：各位数字之和能被3（或9）整除。（5）能被11整除的数的特征：奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除3・数的

2、整除性的性质若若若若若aIb,bIc,则a丨ccIa,cIb,则c丨（a±b）bIa,n为整数，则bInaaIbe,且a,b互质，则aIc.aIb,cIb,且a,c互质,那么acIb.经典例题解析例1（2002年重庆市初中数学竞赛试题）请你将1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数码排出一个能被11整除，且最大的九位数，并口简述排数的过程。［解1］设要求的数为N,因N是11的倍数，所以它的奇数数位的数字之和与偶数数位的数字之和的差是11的倍数，^0,11,22,33,44这五种情况。因为奇数数位的数字Z和与偶数数位的数字Z和的和就是1+2+3+4

3、+5+6+7+8+9二45是一个奇数，我们知道两整数的和与差有相同的奇偶性，所以这个差就只能为11或33。若这个差为33,因和为45,故奇数数位的数字Z和与偶数数位的数字Z和一个为6,—个为39,但1至9这9个数屮最小的四个Z和为10,大于6,故差不能等于33。即差为11。由和为45,差为11不难算出奇数数位的数字之和与偶数数位的数字之和一个为17,~.个为28。为使这个九位数最大，我们先将高位安排得尽可能大，先将前四位排成9876,由于偶数数位的数字之和为17,现已有8+6二14,偶数数位其它两个数字之和为3,它们只能是2和1。于是这个九位数为9

4、87652413-［解2］将最大的九位数987654321除以11余数为5,故987654321-5=987654316是11的倍数。我们将987654316每次减去11,知道得到一个各位数字均不相同的九位数为止。这样减去173个11后第一次得到一个各位数字均不相同的九位数987652413,这就是满足题目条件的最大的九位数。例2(1997年北京市初中数学竞赛试题)试求出末8位恰是18421997并且能被71整除的最小自然数［解］设这个自然数为n,n=kX108+18421997=kX(71X1408450+50)+71X259464+53=71(

5、1408450k+259464)+50k+53于是问题变成，求最小的自然数k,使得71150k+53o设50k+53=71m,m的末位为3,取m二3,13,23,43,仅当m二43时，k是整数,此吋k=60o所以k的最小值为6018421997。例3(1985年北京市初中数学竞赛试题)设a为自然数，证明10

6、(a1985-a1949)12・a1985_a1949=a1949(a36_1)由于an-l=(a-l)(an-1+an-2+...+l),所以a36-1=(a4)9-1=(a4-1)(a32+a28+...+1).如果a的个位数字是1,3,7

7、,9中的一个，不难验证a4-l的个位数字是0,即这时a4-l被10整除,从而更有a,985-a1949被10整除。如果a的个位数字是5,那么严是奇数，a36-l被2整除，严被5整除,所以a叫】949被10整除。如果a的个位数字是2,4,6,8中的一个，那么不难验证』・1的个位数字是5,从而a1985-a1949被10整除。如果a的个位数字是0,当然10

8、(a1985-a1949).例4(2000年上海市初中数学竞赛试题)求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数字Z和.［解］设满足条件的四位数为亦二1000a+100

9、b+10c+d,则1000a+100b+10c+d=111(a+b+c+d)即+(a~llb+10c+d)二111(a+b+c+d),于是111

10、(aTlb+10c+d)。又・98Wa・11b+1Oc+dW108,于是a・11b+1Oc+d=O,a+1Oc+d=11b1000a+100b+10c+d=lll(9a+b)由已知条件,9a+b二a+b+c+d,所以8a二c+dW18,故a=l或a=2.若a=l,c+d=8,a+10c+d=9+9c=llb,满足上式的一位整数b,c不存在；若a=2,c+d=16,a+10c+d=18+9c=llb,显然b

11、=9,于是c=9,d=7所求的四位数只有一个：2997o例5(1991年杭州市第三届“求是杯”初二学生数学竞赛试题)已知自